卡迈克尔数计算器（Korselt 准则判定）
有些合数天生会骗过费马素性测试：对任何与它互素的 a 都有 a^(n−1) ≡ 1 (mod n)。最小的卡迈克尔数 561 = 3 × 11 × 17。输入 n，Korselt 准则逐条判定。
什么是卡迈克尔数计算器？
费马小定理说：n 为素数时 a^(n−1) ≡ 1 (mod n) 对互素 a 成立。卡迈克尔发现了一些合数 n 也让这个式子永远成立——费马测试的完美反例。
最小的卡迈克尔数 561 = 3 × 11 × 17：验证 2⁵⁶⁰、3⁵⁶⁰、5⁵⁶⁰… 全部 ≡ 1 (mod 561)（只要 gcd(a,561) = 1）。
Korselt 准则（1899，比卡迈克尔的例子早）把判定化成四个纯代数条件，本工具逐条检查。
已知卡迈克尔数有无穷多个（Alford、Granville、Pomerance 1994 年证明）——费马素性测试在它们面前彻底失效，现代测试（Miller-Rabin、Baillie-PSW）因此而生。
Korselt 准则（1899）：n 是卡迈克尔数 ⇔ ① n 为合数 ② n 无平方因子 ③ n 至少有 3 个素因子 ④ 对每个素因子 p，p − 1 整除 n − 1
等价定义：对一切与 n 互素的 a 都有 a^(n−1) ≡ 1 (mod n) 的合数——「绝对费马伪素数」。
如何使用卡迈克尔数计算器
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输入 n（4 到 10⁹）。
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点击计算：先质因数分解，再逐条检查 Korselt 四条件。
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结果给出卡迈克尔判定结论与每条检查明细。
计算示例
例 1561 = 3 × 11 × 17
合数 ✓、无平方因子 ✓、三个素因子 ✓；p−1 检查：2 | 560 ✓、10 | 560 ✓、16 | 560 ✓ → 卡迈克尔数 ✓（塞尔弗里奇 1910 年发现的最小例）。
例 21105 = 5 × 13 × 17
4 | 1104 ✓、12 | 1104 ✓、16 | 1104 ✓ → 第二小的卡迈克尔数。
例 3反例 12 = 2² × 3
有平方因子（条件二 ✗）且只有两个素因子（条件三 ✗）→ 不是。12 也确实骗不过费马测试：3¹¹ ≡ 3 (mod 12)。
注意事项
条件三「至少三个素因子」并非 Korselt 原文，而是推论：无平方因子合数若只有两个素因子 p、q，则 p−1 | n−1 蕴含 p−1 | q−1 与 q−1 | p−1，导致 p = q 矛盾——所以本工具合并成四条。
n 上限 10⁹：试除分解 √n ≈ 31623 次循环毫秒级；更大的 n 需要现代分解算法。
卡迈克尔数非常稀疏：10⁹ 以内只有 646 个，但渐近密度下界已证（1994）——「少但无穷多」。
奇卡迈克尔数与偶卡迈克尔数都存在（第一个偶例 391 = 17 × 23 直到 1990 年代才被广泛注意——它只满足「半条件」；真正的偶卡迈克尔数最小是 41041 = 7 × 11 × 13 × 41）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-08
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GB/T 7714 格式
Calcton. 卡迈克尔数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/carmichael, 2026-09-08.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-08。
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