在线因数枚举计算器

因数（约数）是能整除给定整数的正整数。枚举时只需试除到 √n：每找到一个小因数 i，就同时得到配对的大因数 n/i，这让枚举复杂度从 O(n) 降到 O(√n)，10¹² 以内的数也能秒算。

因数个数 τ(n) 与因数和 σ(n) 都由质因数分解唯一确定：若 n = p₁^a₁·p₂^a₂…，则 τ(n) = (a₁+1)(a₂+1)…，σ(n) = ∏(pᵢ^(aᵢ+1)−1)/(pᵢ−1)。真因数和（σ(n)−n）把数分为亏数、完全数、过剩数三类，工具会一并判定。

因数（约数）是整除关系的正面刻画：d 是 n 的因数当且仅当 n = d×k 有整数解。因数总是成对出现——d 与 n/d 互为配对，而配对的「分水岭」恰是 √n：小于 √n 的因数与大于 √n 的因数一一对应。这就是为什么枚举只需试到平方根，也是「完全平方数因数个数为奇数」的根本原因（√n 与自身配对，只算一次）。

因数个数公式 τ(n) = ∏(aᵢ+1) 来自乘法原理：n = p₁ᵃ¹×p₂ᵃ²×… 的每个因数由「每个质因数选 0 到 aᵢ 次」独立决定，总组合数就是各 (aᵢ+1) 之积。这个公式把「枚举」升级为「计数」，还能反解有趣问题：恰好有 5 个因数的数必是 p⁴ 形（如 16、81），恰好有 7 个因数的数必是 p⁶ 形。

因数和公式 σ(n) = ∏(pᵢ^(aᵢ+1)−1)/(pᵢ−1) 的每一项都是等比数列之和（1+p+p²+…+pᵃ）。σ 函数是数论的核心对象之一：完全数满足 σ(n) = 2n，亲和数对满足 σ(m)−m = n 且 σ(n)−n = m。欧拉证明 σ 是积性函数——互质数的因数和等于各自因数和之积，这让大数计算化整为零。