在线真因数和计算器

真因数和 s(n) 是不含 n 自身的所有正因数之和。按 s(n) 与 n 的大小关系，正整数被分为三类：s(n) < n 是亏数（绝大多数数），s(n) > n 是过剩数，s(n) = n 是完全数——如 6 = 1+2+3，28 = 1+2+4+7+14。

把「取真因数和」反复迭代得到等分链（aliquot sequence）：多数链很快到达 1 终止，完全数链停在自身，相亲数对（如 220 与 284，互为对方真因数和）形成二环。是否存在永不终止也不循环的链（如 276 的命运）是数论著名未解问题。本工具追踪链的前 12 项并给出判定。

真因数（aliquot part，拉丁语「包含其中的部分」）指 n 的除自身以外的所有正因数。真因数和 s(n) 看似只是一个减法 σ(n)−n，却撬动了数论中最古老的问题群：古希腊人认为完全数是「宇宙的和谐」，毕达哥拉斯学派给 6 与 28 赋予了神秘意义；两千年后，欧拉证明每个偶完全数必为 2ᵖ⁻¹(2ᵖ−1) 形（其中 2ᵖ−1 是梅森质数），把完全数问题与梅森质数搜寻永久绑定。

奇完全数是数论最著名的悬案之一：如果存在，它必须大于 10¹⁵⁰⁰、至少有 10 个不同质因数、最大质因数超过 10⁸……约束条件已达数十条，却依然无法证明其不存在。欧拉在信中说「奇完全数是否存在，值得深究」，三百年来无解。GIMPS 分布式计算项目每发现一个新梅森质数，就同时诞生一个新偶完全数——2018 年发现的第 51 个有 4972 万位。

真因数和的迭代行为定义了亲和数与社交数：220 的真因数和是 284，而 284 的真因数和恰好回到 220——毕达哥拉斯称其为「友谊的象征」，中世纪情人曾以 220/284 作为定情数字塔利斯曼。更长的环（社交数）直到 1918 年才由普莱特发现第一个五环（12496→14288→15472→14536→14264→12496）。而 s 迭代是否会收敛、成环还是发散（如卡特兰-迪克森猜想），至今没有完整答案。