因数分解

因数（Factor）是能整除给定数的正整数。因数的核心性质是成对出现：若 a 是 n 的因数，则 n ÷ a 也是——36 的因数对是 (1,36)、(2,18)、(3,12)、(4,9)、(6,6)。这个对称性带来高效的枚举法：只需检查到 √n，每找到一个因数就同时得到它的搭档。

因数个数有个优雅的公式：把 n 分解为质因数 p₁^a₁ × p₂^a₂…，则因数个数 = (a₁+1)(a₂+1)…。36 = 2² × 3²，因数个数 = 3 × 3 = 9 个。完全平方数（如 36）的因数个数必为奇数（中间那对是同一个数 √n × √n），非平方数必为偶数。

因数结构是数论应用的入口：公约数、公倍数、分数约分、密码学（RSA 的安全性就建立在大数难分解质因数之上）。日常应用也很直接——把 36 个物品平均分组有几种分法？答案就是因数对的个数：可以分成 2 组 18、3 组 12、4 组 9、6 组 6……

因数对（factor pairs）是把合数拆成两数乘积的所有方式，它把「整除」变成可视的几何问题：n 的每个因数对 (a,b) 对应一个面积为 n、边长为 a×b 的矩形。12 可以摆成 1×12、2×6、3×4 三种矩形；质数 7 只能摆成 1×7 一条线——「质数没有矩形」是古希腊人定义质数的原始方式，因数对 enumerable 的特征也成了 RSA 加密安全的根基（大数分解困难）。

枚举只需试到 √n 是因数对计算的「光速优化」：若 d>√n 是 n 的因数，则配对者 n/d<√n 已被找到。验证 1000000 的因数只需试 1000 个数而非一百万个。这个对称性还解释了为什么完全平方数因数个数为奇数（√n 与自己配对落单），以及筛法求质数为何划到 √n 就能收工。