卡迈克尔函数 λ(n) 计算器

λ(n) 与 φ(n) 什么关系：φ(n) 保证 a^φ(n) ≡ 1 对所有互质 a 成立，但常常「用力过猛」；λ(n) 是真正需要的最小通用指数，且 λ(n) | φ(n)。例：λ(8)=2 而 φ(8)=4——任何奇数的平方都 ≡ 1 (mod 8)。

怎么计算：分解 n = ∏p^k，对每个素数幂求 λ(p^k)（奇素数 p^(k−1)(p−1)，2 的幂特殊：λ(2)=1、λ(4)=2、λ(2^k)=2^(k−2)），再取最小公倍数。λ(561) = lcm(λ(3),λ(11),λ(17)) = lcm(2,10,16) = 80。

取等条件是什么：n 是奇素数幂或 2·奇素数幂时 λ(n) = φ(n)；n 有多种素因子或含高次 2 幂时 λ(n) 严格小于 φ(n)。

RSA 里怎么用：FIPS 186-5 等标准建议私钥指数 d 满足 e·d ≡ 1 (mod λ(n))——用 λ 替代 φ 得到的 d 往往更小，解密更快，安全性不变。