柯西-黎曼方程验证
柯西-黎曼方程是复可导的「逐点指纹」：uₓ = v_y 且 u_y = −vₓ。本工具对 z²、eᶻ、1/z、|z|² 四个教科书函数做中心差分验证——包括 |z|² 这个「仅在原点满足 CR 却不解析」的经典反例。
柯西-黎曼方程 uₓ = v_y、u_y = −vₓ 是复函数 f = u + iv 可导的逐点判据，也是「解析」这一强性质的入口——满足 CR 的函数自动无穷次可导并满足拉普拉斯方程。
什么是柯西-黎曼方程验证？
实函数可导是个温和条件，复可导却苛刻得多——它同时要求两个实偏导按特定方式「配对旋转」。
满足 CR 的函数自动无穷次可导、满足拉普拉斯方程、实虚部互为共轭调和函数，并在流体力学与静电学里直接对应无旋无源场。
一个方程组，撑起整个复分析的刚性之美。
f(z) = u(x,y) + i·v(x,y) 在点 (x,y) 复可导 ⟺ uₓ = v_y 且 u_y = −vₓ（偏导连续时）；此时 f′(z) = uₓ + i·vₓ
CR 在一个开集内处处成立且偏导连续 → f 解析：复可导一次 = 无穷次可导，这是实函数没有的刚性。
如何使用柯西-黎曼方程验证
- 1
选择函数：z²、eᶻ、1/z 或 |z|²
- 2
输入验证点 z = x + yi
- 3
工具用 h = 10⁻⁵ 中心差分数值计算 uₓ、u_y、vₓ、v_y
- 4
逐条比对 CR 两式，输出 f′(z) 数值与解析性结论
计算示例
例 1z² 在任意点
u = x² − y²，v = 2xy uₓ = 2x，v_y = 2x；u_y = −2y，vₓ = 2y uₓ = v_y ✓ 且 u_y = −vₓ ✓，处处成立
例 2|z|² 的「一点解析」
u = x² + y²，v = 0 uₓ = 2x，v_y = 0；u_y = 2y，vₓ = 0 仅当 x = y = 0 时两式同时成立
注意事项
CR 是「可导的必要条件」，加上「偏导连续」才充分——本工具用数值差分逼近，容差 10⁻⁴
|z|² 在原点满足 CR 且实可导，却不解析：解析要求邻域内处处可导，这是最常见的考点陷阱
CR 的极坐标形式：u_r = v_θ/r 且 u_θ = −r·v_r，处理圆域问题时更方便
满足 CR 的 u、v 互为共轭调和函数：给定 u 可用 CR 积分重构 v（相差常数）
f̄(z) = 共轭函数从不解析（除常数）：它把 CR 两式反号，与解析性完全对立
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-13
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 柯西-黎曼方程验证[EB/OL]. https://www.calcton.com/cauchy-riemann, 2026-09-13.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-13。
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