卡方分布表：自由度 df = 11
六档右尾显著性水平的 χ² 临界值，附均值方差与检验判读。
最常用档：右尾 α = 0.05
χ² = 19.675
χ² 统计量超过此值即在 0.05 水平下拒绝原假设。
分布特征（df = 11）
均值 11 · 方差 22
均值恒等于自由度，方差为两倍自由度；右偏分布。
六档临界值（df = 11）
| 右尾 α | χ² 临界值 | 含义 |
|---|---|---|
| 0.1 | 17.275 | P(χ² > 值) = 0.1 |
| 0.05 | 19.675 | 95% 置信标准 |
| 0.025 | 21.920 | P(χ² > 值) = 0.025 |
| 0.01 | 24.725 | 99% 置信标准 |
| 0.005 | 26.757 | P(χ² > 值) = 0.005 |
| 0.001 | 31.264 | P(χ² > 值) = 0.001 |
使用步骤
- 确定自由度：拟合优度检验 df = 类别数 − 1 − 估计参数数；独立性检验 df = (行数 − 1) × (列数 − 1)。
- 选右尾 α：惯例 0.05（95% 置信）或 0.01（99% 置信），df = 11 时两档临界值分别为 19.675 与 24.725。
- 计算 χ² 统计量：χ² = Σ (观察频数 − 期望频数)² ÷ 期望频数，逐格求和。
- 判读：χ² > 19.675 则拒绝原假设——观察与期望的差异显著；χ² ≤ 19.675 则差异可归因于随机波动。
判读要点
自由度 df = 11 的卡方分布表中，右尾 α = 0.05 的临界值是 19.675：意味着 χ² 统计量超过 19.675 的概率只有 5%——若算出的 χ² 大于它，就在 0.05 显著性水平下拒绝「数据符合预期」的原假设。卡方分布均值恒为自由度（11）、方差为 2 倍自由度（22），右偏不对称，自由度越大越接近正态。
常见问题
df = 11 时卡方临界值怎么读？
卡方表按右尾概率排列：α = 0.05 列表示 P(χ² > 临界值) = 0.05。df = 11 时六档临界值依次为 17.275、19.675、21.920、24.725、26.757、31.264，α 越小临界值越大。
卡方检验的期望频数有什么要求？
每格期望频数应 ≥ 5（至少 80% 的格子满足，且无格 < 1），否则卡方近似失真。期望频数过小时应合并相邻类别或改用 Fisher 精确检验。
为什么卡方分布不对称？
卡方统计量是平方和，最小值为 0、无上界，天然右偏。自由度越大（df ≥ 50）偏度越弱，分布趋近正态 N(df, 2df)；df = 1 与 df = 2 时形态差异最大——df = 2 的 CDF 有解析式 1 − e^(−x/2)。
拟合优度检验和独立性检验自由度怎么算？
拟合优度：df = 类别数 − 1（再减去用数据估计的分布参数个数）。独立性（列联表）：df = (行数 − 1) × (列数 − 1)，如 3×4 表 df = 6。