卡方检验计算器

卡方检验（Chi-Square Test）衡量"观察频数"与"理论期望"的总偏离：χ² = Σ(观察 − 期望)² ÷ 期望。每个类别把偏差平方后除以期望（大类别容忍大偏差），再全部相加。χ² 越大，实际分布离理论预期越远；与临界值比较即可判断偏离是否"显著到不像巧合"。

自由度（df）= 类别数 − 1：6 个面的骰子 df=5。df=1 时显著性临界值 3.84（α=0.05），df=5 时 11.07。例如观察 60、40 对比期望 50、50：χ² = 100/50 + 100/50 = 4 > 3.84——p≈0.046，偏离显著，有理由怀疑硬币被动了手脚（虽然 4.6% 的"冤枉率"意味着证据还不算铁）。

卡方检验两大经典用途：拟合优度检验（本工具：实际分布 vs 理论分布，如骰子均匀性、孟德尔豌豆 9:3:3:1）与独立性检验（列联表：吸烟与肺癌是否相关、性别与投票倾向是否独立）。核心思想一致——把"看起来有关/有偏"翻译成"这种偏离纯靠运气出现的概率"。

卡方检验度量「观察与期望的偏离程度」是否大到不能用运气解释。统计量 Σ(O−E)²/E 的设计非常讲究：平方消除正负抵消、除以 E 把偏离换算成相对幅度——期望 100 差 10（χ² 贡献 1）与期望 10 差 10（贡献 10）严重程度完全不同。零假设永远是「无差异/无关联」，χ²=0 表示观察与期望完美吻合，值越大越反常。自由度 df 决定分布形状：类别越多、随机涨落空间越大，临界值水涨船高。

卡方检验有三个硬门槛，踩中任何一条结论就不可信：① 期望频数不宜过小——经验法则是所有 E≥1 且 80% 的格子 E≥5，不满足时用 Fisher 精确检验或合并类别；② 观察必须独立——同一人的多次投票不能当作多个样本；③ 数据必须是「频数」而非百分比或均值——把及格率 60% 直接塞进公式是经典错误，要先乘回样本量变成人数。2×2 表还有耶茨连续性修正（|O−E|−0.5 再平方）的老传统，现代软件多用精确检验替代。