圆的方程计算器

圆的标准方程 (x−h)²+(y−k)²=r² 直接翻译圆的定义：到圆心 (h,k) 距离恒为 r 的点的集合。展开后得一般方程 x²+y²+Dx+Ey+F=0，配方即可互化。

已知直径两端点时最快捷：圆心是两端点中点，半径是两端点距离的一半。依据是泰勒斯定理——直径所对圆周角为直角，反过来斜边为直径的直角三角形顶点必在以斜边为直径的圆上。

圆的方程是解析几何的基石。标准式 (x − h)² + (y − k)² = r² 直接揭示圆心 (h, k) 与半径 r；展开后的一般式 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 则把圆心藏进系数中：圆心 (−D/2, −E/2)，半径 r = √(D² + E² − 4F)/2。判别量 D² + E² − 4F > 0 为实圆、= 0 退化为点圆、< 0 无轨迹。

配方是两种形式互化的唯一桥梁：把 x² + Dx 补成 (x + D/2)² − D²/4，y 项同理，移项即得标准式。这个技巧与二次函数求顶点、椭圆双曲线标准化完全同源，是解析几何的通用基本功。参数方程 x = h + r cosθ、y = k + r sinθ 则把圆拉直为角度 θ 的单参数曲线，是圆周运动、摆线推导与计算机绘圆的首选形式。

三点定圆是几何的经典定理：不共线三点唯一确定一个圆（三角形外接圆）。解析做法是把三点代入一般式解三元线性方程组；几何做法是两弦中垂线交于圆心。这个「三定圆」性质应用极广：GPS 三球定位的平面版、圆弧重建（考古陶器残片复原口径）、三点共圆检测（四点共圆判据的几何基础）。

圆与直线的位置关系由「圆心到直线距离 d 与半径 r」完全判定：d > r 相离、d = r 相切（切点即垂足）、d < r 相交（弦长 2√(r² − d²)）。切线方程有标准结论：圆 x² + y² = r² 上点 (x₀, y₀) 处的切线为 x₀x + y₀y = r²，「一半替换」的记忆法对椭圆双曲线同样成立。

两圆位置关系是圆幂与位似的综合：设圆心距 d、半径 r₁、r₂，则 d > r₁ + r₂ 外离（4 条公切线）、d = r₁ + r₂ 外切（3 条）、|r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂ 相交（2 条）、d = |r₁ − r₂| 内切（1 条）、d < |r₁ − r₂| 内含（0 条）。根轴（等幂线）是两圆方程相减得到的一条直线，是三圆共轴分析的起点。