外接圆半径

不在同一直线上的三个点确定唯一一个圆，这就是三角形的外接圆，圆心（外心）是三边垂直平分线的交点。半径公式 R = abc ÷ 4K，其中 K 是三角形面积（由海伦公式求得）。它其实是正弦定理 a ÷ sinA = 2R 的等价形式。

外接圆半径揭示三角形的「胖瘦」：同样面积，边越悬殊 R 越大；直角三角形的外心在斜边中点（R = c/2，泰勒斯定理）；钝角三角形的外心跑到三角形外面——外心位置本身就是判断三角形类型的快捷方式。

外接圆过三角形三个顶点，圆心（外心）是三边垂直平分线的交点，半径 R = abc÷(4K) 是全场主角：只知三边也能算——先用海伦公式 K = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) 求面积，再代入。直角三角形的特例 R = c÷2：斜边即直径（泰勒斯定理），圆心在斜边中点。

正弦定理的完整形式 a÷sinA = b÷sinB = c÷sinC = 2R 把「边与对角的比」锁定为外接圆直径。多数教材只写比例部分，丢了 2R 这个常数——它的威力在于：已知一边及其对角，R 立即确定；已知 R 与一个角，对边立即确定。测量学反算不可到达边全靠这条。

外心位置是三角形形状的晴雨表：锐角三角形外心在形内，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在形外（钝角对侧）。三点定圆的数值稳定性与此相关——三点接近共线时外心飞向无穷远，计算病态，道路与管道的圆弧拟合布点必须尽量拉开。

欧拉两件套：外心 O、重心 G、垂心 H 共线（欧拉线），OG:GH = 1:2；欧拉不等式 R ≥ 2r（外接圆半径不小于内切圆半径两倍），等号仅当等边三角形——R = 2r 因此成为等边判据。更深的欧拉公式 d² = R(R−2r) 给出外心与内心的距离，同时蕴含了这条不等式。

工程应用主打「三点定圆」：弯道、弯管、拱券不知道圆心时，量三点坐标求外接圆，半径圆心全出；V 型块测轴径、三爪卡盘定心、三点支撑平台，都是这条定理的机构化。与 内切圆半径计算器 配合，完整刻画三角形的内外两圆。