直角三角形

直角三角形满足勾股定理：a² + b² = c²。它是整个三角学的地基——任意三角形都能拆成两个直角三角形，测量、导航、工程放样的计算最终都归结于此。3-4-5 是最小的一组整数解，古埃及人用它拉绳定直角，中国《周髀算经》记载「勾广三，股修四，径隅五」。

直角三角形还有一串漂亮性质：斜边中线等于斜边的一半（所以外接圆圆心在斜边中点）；内切圆半径 r = (a+b−c) ÷ 2；斜边上的高 h = ab ÷ c，且它把原三角形分成两个与原三角形相似的小三角形——相似关系链由此展开。

直角三角形是三角形问题的简化器：c = √(a²+b²)、面积 = ab÷2、斜边上的高 h = ab÷c、外接圆半径 R = c÷2、内切圆半径 r = (a+b−c)÷2——五条公式覆盖绝大多数现场计算。R = c÷2 的来历是泰勒斯定理：直径所对圆周角为直角，所以斜边即外接圆直径，圆心在斜边中点。

勾股数组是施工放样的硬通货：3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25。本原勾股数由 m²−n²、2mn、m²+n²（m>n、互素、一奇一偶）生成。巴比伦普林顿 322 泥板（约前 1800 年）已列出 15 组勾股数，比毕达哥拉斯早一千年——人类对直角三角形的研究几乎与文明同龄。

两块三角板是三角函数的源头：45-45-90（边比 1:1:√2）给出 sin45° = √2÷2；30-60-90（边比 1:√3:2）给出 sin30° = 1÷2、tan60° = √3。工程心算三个数：45° 坡高 = 水平距，30° 坡高 = 水平距×0.577，60° 坡高 = 水平距×1.732。数控倒角、屋架下料、坡度换算全靠它们。

射影定理三件套：斜边上的高 h = ab÷c，直角边在斜边上的射影 p = a²÷c、q = b²÷c，且 a² = pc、b² = qc、h² = pq。欧几里得证勾股定理用的正是这套射影关系；人字屋架中央立柱的长度就是 h，立柱两侧的梁段就是 p 与 q。

放样与校验：3-4-5 绳圈定直角是工地基本功（12 节绳圈拉成 3-4-5 三角形，5 边对角即直角）；激光测距普及后，「对角线相等」校验法更快。反算直角边用平方差 a = √(c²−b²)，切勿错用 √(c²+b²)。与 勾股定理计算器 同源，本工具补全高、内外圆半径与角度。