圆幂定理计算器

圆幂定理是一族定理的统一：过定点 P 任引直线交圆于 A、B，则 PA·PB 为定值，等于 |d²−r²|（d 为 P 到圆心距离，r 为半径）。P 在圆外时该定值为正且等于切线长的平方（切割线定理）；P 在圆内时表现为相交弦定理：两弦被交点分成的两段乘积相等。

这套定理把"切割线""割线""相交弦"三种看似无关的情形纳入同一恒等式，是反演几何的雏形，也是证明四点共圆的利器。

圆幂定理是平面几何中最优雅的统一性定理之一：过定点 P 任作直线交圆于两点 A、B，则 PA·PB 是定值，与直线方向无关。这个定值等于 |d² − r²|（d 为 P 到圆心距离，r 为半径），称为点 P 对圆的幂。P 在圆外时，幂为正，且等于切线长的平方；P 在圆内时，幂为负（取绝对值后等于弦被 P 分成两段的乘积，即相交弦定理）；P 在圆上时幂为零。

相交弦定理、切割线定理、割线定理其实是同一个定理的三种表述。圆内情形：两条弦 AB、CD 交于 P，则 PA·PB = PC·PD（相交弦定理）；圆外情形：割线 PAB 与切线 PT，则 PA·PB = PT²（切割线定理）；两条割线则 PA·PB = PC·PD（割线定理）。三种情形统一于「幂 = d² − r²」这一个表达式——带符号后圆内为负、圆外为正，符号本身就是位置判据。

为什么乘积是定值？几何证明用相似三角形：圆内两弦相交时，对顶角相等加同弧所对圆周角相等，两三角形相似即得比例。解析证明更直接：设 P 为原点，直线参数方程代入圆方程，得到关于参数 t 的二次方程，两根之积（即两段有向长度之积）由韦达定理等于常数项 d² − r²，不含方向项。两种证明都值得体会——前者见古典之美，后者见代数之力。

圆幂定理的逆用极其重要：若两条线段 AB、CD（或其延长线）交于 P 且 PA·PB = PC·PD，则 A、B、C、D 四点共圆。这是证明四点共圆的标准武器之一（另一武器是对角互补）。竞赛几何中大量共圆问题最终都归约到验证一个乘积等式。根轴（两圆幂相等点的轨迹，一条直线）与根心（三圆两两根轴共点）理论，也都建立在幂的概念上。

实际应用超出纯几何：天线的菲涅尔区计算涉及切割关系；建筑设计中圆形穹顶的视线分析；测量学中利用切割线定理从单一观测点测定圆的半径（只需测一段割线两段长度）；机械设计中凸轮轮廓的曲率分析。本工具输入点到圆心距离、半径与割线段，给出幂值、各段乘积与位置关系判定。