切线长计算器

从圆外一点 P 向圆引切线，切点为 T，则切线 PT 与半径 OT 垂直。由勾股定理：t=√(d²−r²)，d 为 P 到圆心距离。这就是切线长公式，也是"切线垂直于过切点的半径"这一定理的直接应用。

切线长定理：圆外一点引圆的两条切线长度相等，且 PO 平分两切线的夹角。切线长的平方 t²=d²−r² 正是该点对圆的"幂"，是圆幂定理的组成部分。

切线长是圆外一点到切点的距离。从圆外一点 P 向圆作切线，切点为 T，由勾股定理立即得到 t = √(d² − r²)，其中 d 是 P 到圆心的距离，r 是半径。公式成立的关键在于切线的基本性质：半径垂直于切线，所以三角形 OPT（O 为圆心）是以 T 为直角顶点的直角三角形，斜边是 d，一条直角边是 r，另一条就是切线长 t。

从圆外一点可以引两条切线，它们长度相等——这就是切线长定理。证明用两个直角三角形全等（斜边 OP 公共、直角边 OT 都是半径），一步即得。这个看似简单的结论有深远应用：它说明圆外一点对圆的「影响」是对称的，两条切线关于 OP 对称，圆心连线 OP 平分两条切线的夹角，也垂直平分切点弦。

切点弦（两切点连线）有完整的公式族：弦长 = 2rt/d；P 到切点弦的距离 = t²/d；切点弦到圆心距离 = r²/d。这些公式都来自同一个直角三角形中的相似关系，理解一组就能推出全部。切点弦在工程中对应「过渡点连线」——道路转弯的缓和曲线起终点、机械制图中两条直边的圆弧过渡，都要先定位切点。

切线长公式是圆幂定理的直接前奏：P 对圆的幂 = d² − r²，恰好是切线长的平方。这个统一视角把切线、割线、弦的各种乘积定理收进一个框架。当 d 趋近 r（P 贴近圆面）切线长趋零；当 d < r（P 在圆内）不存在切线，公式根号内为负——根号的符号本身就是点与圆位置关系的判别器。

实际应用非常工程化：测绘中从控制点观测圆形储罐，视线与罐体相切，用切线几何反推罐径；机械设计中计算皮带与带轮的切线段长度（皮带长度计算的核心步骤）；光学中镜面反射的临界掠射角分析；CAD 中「从点到圆作切线」是标准约束。本工具输入点到圆心距离与半径即得切线长，同时给出切点弦长等关联量。