比较判别法（直接与极限比较）计算器
比较判别法把待判定级数与已知敛散的"标尺级数"并排：逐项都小则跟随收敛，逐项都大则跟随发散；极限比较则看两项之比的极限是否有限非零。
| n | aₙ | bₙ | aₙ/bₙ |
|---|---|---|---|
| 1 | 1.4427 | 1 | 1.4427 |
| 2 | 0.45512 | 0.25 | 1.8205 |
| 3 | 0.24045 | 0.11111 | 2.164 |
| 4 | 0.15533 | 0.0625 | 2.4853 |
| 5 | 0.11162 | 0.04 | 2.7906 |
| 6 | 0.08565 | 0.02778 | 3.0834 |
| 7 | 0.0687 | 0.02041 | 3.3663 |
| 8 | 0.05689 | 0.01563 | 3.641 |
| 9 | 0.04825 | 0.01235 | 3.9087 |
| 10 | 0.0417 | 0.01 | 4.1703 |
| 11 | 0.03658 | 0.00826 | 4.4267 |
| 12 | 0.03249 | 0.00694 | 4.6785 |
输入 aₙ 表达式占位：ln(n+1)/n
什么是比较判别法计算器？
比较判别法是所有判别法里最朴素的一个：和已知敛散的级数比大小。
直接比较：小者跟随大者——参照收敛则更小的也收敛，参照发散则更大的也发散。
极限比较：当 aₙ/bₙ 趋于有限正数 L 时，两个级数同敛散。
极限比较更常用，因为它不需要逐项不等式，只需比值有极限。
p 级数与几何级数是最常用的两把标尺。
0 ≤ aₙ ≤ bₙ 且 Σbₙ 收敛 ⇒ Σaₙ 收敛
极限比较：L = lim aₙ/bₙ 有限且大于 0 时，两级数同敛散。
如何使用比较判别法计算器
- 1
选择参照级数：1/n²、1/n、1/√n 或 1/n³。
- 2
输入被比较级数 aₙ = c/(n·ln(n+1)) 的系数 c。
- 3
结果区展示 n = 1 到 12 的 aₙ、bₙ 与比值。
- 4
由比值趋向与参照级数的敛散得出结论。
计算示例
例 1对数调和级数
aₙ = 1/(n·ln n) 与 1/n 相比：比值 1/ln n → 0，但参照发散、aₙ ≥ 1/n 当 n ≥ 3 也发散——极限比较 L = 0 时必须用直接比较。
例 2略小的收敛级数
aₙ = 1/(n²·ln n) 与 1/n² 比较，L → 0 且逐项更小，收敛。
注意事项
直接比较要求逐项不等式对所有足够大的 n 成立即可。
极限比较 L = 0 或 ∞ 时不能下结论，需回到直接比较或换标尺。
参照级数的选择决定成败：优先猜通项的"主部"。
比较判别法只处理正项级数；任意项级数先取绝对值。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-11
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 比较判别法计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/comparison-test, 2026-09-11.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-11。
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