圆锥

圆锥体积 V = ⅓πr²h——恰好是同底等高圆柱的三分之一。这个 1/3 不是巧合：祖暅原理（卡瓦列里原理）证明任何锥体都是对应柱体的 1/3，与底面形状无关。

母线（slant height）l = √(r² + h²) 是顶点到底面圆周的斜边。侧面积 = πrl（注意是母线 l 不是高 h），加上底面 πr² 即表面积。把侧面展开是一张扇形，扇形半径就是母线。

母线（斜高 l）是圆锥顶点到底面圆周上任意点的距离，l = √(r² + h²)——它和高 h 相差一个半径的直角边关系。所有涉及「材料用量」的计算（铁皮、布料、纸）都用母线而非高：侧面积 = πrl。把侧面沿母线剪开摊平，得到半径 l、弧长 2πr 的扇形，圆心角 = (r÷l)×360°——半径越接近母线（锥越扁），扇形越接近整圆。

圆锥是自然界与工程里的「默认形态」：颗粒物料自然堆积成圆锥（休止角约束）、水流下落的旋涡锥、帐篷与斗笠的防雨锥。工业上锥形料斗利用锥面让物料向中心汇聚；锥形桩尖减少打桩阻力；锥形滤杯（V60）用 60° 锥角控制咖啡粉的接触时间与流速——几何参数直接决定功能表现，咖啡水粉比计算器 可以配套使用。

截掉尖顶的圆锥叫圆台（截锥），是更常见的工程形态：水桶、灯罩、花盆都是圆台。圆台体积 = ⅓πh(R² + Rr + r²)，侧面积 = π(R + r)l——公式在 R = r 时退化为圆柱、r = 0 时退化为圆锥，一个公式覆盖三族形体。这也是「圆台计算器」类工具背后的统一内核。