圆台

圆台是圆锥被平行于底面的平面截去顶部后的剩余部分：V = ⅓πh(R² + Rr + r²)。括号里三项的口诀是「上平方、下平方、上下相乘」——R 与 r 相等时退化为圆柱（3R²），r = 0 时退化为圆锥。

母线长 l = √(h² + (R−r)²)：把圆台侧面展开是一个扇环，其弧长差对应上下底周长。纸杯厂正是按扇环下料——一只纸杯的「平面图」就是一段环形纸片。

圆台（截头圆锥）是圆锥被平行底面的平面截去顶部后的剩余部分，三个参数：下半径 R、上半径 r、高 h。体积公式 V = πh(R²+Rr+r²)÷3 的三项结构有深意——R²+Rr+r² 是对两底面积的加权平均，R = r 时退化为圆柱 πR²h，r = 0 时退化为圆锥 πR²h÷3，两个极限自洽是检验公式记忆是否正确的试金石。

更一般的拟柱体公式 V = h(S₁+√(S₁S₂)+S₂)÷3 对一切「上下底平行且相似、侧棱共点」的台体成立：棱台、方台、圆台都是特例。梯田土方、基坑开挖、料斗容积的工程估算都用这个统一形式——先算上下底面积，中间项是两者的几何平均，再乘高除三。

母线 l 与高 h 是圆台的两条「腰」：l = √(h²+(R−r)²)。母线决定侧面积 S侧 = π(R+r)l，高决定体积。钣金下料关心母线——侧面展开是扇环，外弧半径 = l×R÷(R−r)，圆心角 = (R−r)÷l×360°；容积设计关心高。烟囱帽、灯罩、料斗的图纸两个都必须标。

生活中到处是圆台：水桶上粗下细（脱模斜度+可堆叠）、纸杯（同上）、马克杯、闻香杯（收口聚香）、路锥、灯罩。容积陷阱在于「不能用平均直径当圆柱算」——平均半径法在径差小时误差可接受（5cm 径差约 2%），径差接近半径时误差超过 10%，必须用圆台公式。

圆台重心在轴线上，距下底 h×(R²+2Rr+3r²)÷(4×(R²+Rr+r²))：圆柱居中（h÷2），圆锥在 h÷4。锥形水塔、料斗秤的重心位置直接关系到抗倾覆与称重传感器的布置。配合 圆锥计算器 与 圆柱计算器，台锥柱三族就覆盖了绝大多数旋转体容器。