卡伦数计算器
Cₙ = n·2ⁿ + 1——1905 年卡伦随手写下的序列，藏着一个直到 2009 年才确认的事实：500 以内它只产生一个素数 C₁ = 3。
什么是卡伦数计算器？
卡伦数由詹姆斯·卡伦在 1905 年定义：Cₙ = n·2ⁿ + 1。前几项：C₀ = 1, C₁ = 3, C₂ = 9, C₃ = 25, C₄ = 65, C₅ = 161, C₆ = 385, C₇ = 897…
Cₙ 全是奇数且增长为 O(n·2ⁿ)——比指数快一个线性因子。它属于 Proth 数家族（k·2ᵐ + 1，k < 2ᵐ），因此可用 Proth 定理做素性快速判定。
卡伦素数极其稀少：C₁ = 3 是 n ≤ 500 中唯一的素数。已知卡伦素数 n 值：1, 141, 4713, 5795, 6611, 18496, 32292, 32469, 59656, 90825, 262413, 361273, 481899, 1354828…
卡伦数与 Woodall 数（n·2ⁿ − 1）是镜像对：一加一减，两个序列的素数分布都极稀疏，是计算数论中「素数荒漠」的教科书案例。
Cₙ = n·2ⁿ + 1
素性判定：≤ 10⁶ 试除 + Miller-Rabin（12 个确定性底数）；Cₙ 是 Proth 数 k·2ᵐ + 1（k = n 奇时）
如何使用卡伦数计算器
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输入 n（0 到 500），得到单个 Cₙ 的值与素性判定。
- 2
勾选批量模式可枚举 0 到 n 的全部卡伦数并标出素数。
- 3
结果面板显示 n·2ⁿ 的分解结构，便于观察 Proth 形式。
- 4
对照已知卡伦素数列表，确认计算结果与文献一致。
计算示例
例 1示例：C₅ 与 C₁₄₁
C₅ = 5·2⁵ + 1 = 161 = 7 × 23（合数）。C₁ = 1·2 + 1 = 3（素数）。C₁₄₁ = 141·2¹⁴¹ + 1 是一个 45 位的卡伦素数（1957 年由 Keller 发现），也是 n ≤ 500 中除 C₁ 外无素数的漫长荒漠后第一个。
注意事项
Cₙ 对 n = 0 给 1，n = 1 给 3；文献有时从 n = 1 起算，本工具从 n = 0 起算以保持与 OEIS A002064 一致。
Proth 数要求 k < 2ᵐ：Cₙ 中 k = n、m = n，n ≥ 1 时恒满足，因此全部卡伦数（除 C₀ = 1）都是 Proth 数。
试除上界 10⁶ 足以排除 n ≤ 500 内绝大多数合数；真正的素性由 Miller-Rabin 12 底数确定性判定（对 64 位内整数无错）。
卡伦数满足同余关系 Cₙ ≡ n + 1 (mod n·2) 当 n 为奇数时……更实用的记忆是 Cₙ 永远奇数且 Cₙ ≡ 1 (mod n) 不成立——别与费马小定理混淆。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-21
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引用本页
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Calcton. 卡伦数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/cullen-number, 2026-09-21.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-21。
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