曲率计算器
输入幂式曲线与求值点，输出一阶二阶导数、曲率 K = |f″|/(1+f′²)^(3/2) 与曲率半径 R = 1/K，并解读弯曲方向。
曲线 y = a·xⁿ，求指定点处的曲率与曲率半径（n ≥ 2）
什么是曲率计算器？
曲率度量曲线在一点的"弯曲程度"：单位弧长上切线方向转过的角度，K = dθ/ds。
直角坐标公式 K = |f″|/(1+f′²)^(3/2) 由参数式 K = |x′y″ − y′x″|/(x′²+y′²)^(3/2) 特化而来。
曲率半径 R = 1/K 是密切圆的半径：该圆与曲线在切点处二阶贴合，是"最贴近曲线的圆"。
直线的 K = 0、半径 R 的圆处处 K = 1/R，两个极端验证了定义的合理性。
应用横跨工程与物理：铁路/公路缓和曲线按曲率线性变化设计、梁的弯矩与曲率成正比、光学折射面用曲率半径定焦。
K = |f″(x₀)| / (1 + f′(x₀)²)^(3/2)，曲率半径 R = 1/K
直线 K = 0；半径 R 的圆处处 K = 1/R；f″ = 0 的点（拐点）曲率为零，曲线在该点附近近似直线。
如何使用曲率计算器
- 1
把曲线写成 y = a·xⁿ（幂次 n ≥ 2，保证二阶导非零可分析）。
- 2
填入求曲率的点 x₀。
- 3
点击计算，得到 f′、f″ 的代入值与曲率 K 的完整分子分母。
- 4
曲率半径与弯曲方向（凹/凸）一并输出，拐点处会明确提示 K = 0。
计算示例
例 1y = x² 在 x = 1
f′ = 2，f″ = 2，K = 2/(1+4)^1.5 = 2/(5√5) ≈ 0.1789，R ≈ 5.59。顶点 x=0 处 K = 2、R = 0.5，顶点最弯。
例 2y = x³ 在 x = 0（拐点）
f″(0) = 0 → K = 0，曲率半径无穷大：拐点处曲线与切线二阶贴合，局部比任何圆都"直"。
注意事项
K 恒为非负（取绝对值），凹凸方向由 f″ 的符号单独判断，工具已分行输出。
幂次 n < 2 时 f″ ≡ 0，整条曲线是直线（或斜线），工具会提示改 n。
大斜率处 (1+f′²)^(3/2) 增长极快，曲线"斜而不弯"时 K 仍可能很小——曲率与坡度是两回事。
参数曲线（圆 x=R·cos t 等）请用参数公式；本工具面向函数图像 y = f(x)。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-06
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Calcton. 曲率计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/curvature, 2026-09-06.
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最后更新：2026-09-06。
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