切平面计算器

Q: 切平面计算器 - 曲面切平面与法线的计算公式是什么？

z = z₀ + fx(x₀, y₀)(x − x₀) + fy(x₀, y₀)(y − y₀)。 法向量为 (fx, fy, −1)；法线是过切点、沿法向量方向的直线，参数式为切点坐标加 t 乘法向量。 在切平面计算器 - 曲面切平面与法线计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

Q: 用切平面计算器 - 曲面切平面与法线计算需要输入哪些内容？

首先，把曲面写成 z = a·x^m + b·y^n 的可分离形式，填入 a、m、b、n。 然后，填入切点平面坐标 x₀、y₀，工具会自动算出 z₀。 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是切平面计算器？

切平面是曲面在一点附近最好的线性近似：把二元函数"压平"成一张平面。

与一元函数的切线类比，切平面由两个方向的一阶偏导共同确定。

点法式 z = z₀ + fx·(x − x₀) + fy·(y − y₀) 中，fx、fy 就是两个方向的斜率。

法向量 (fx, fy, −1) 垂直于切平面，是求点到曲面距离、光线反射等问题的基础。

一阶泰勒近似、多元误差传播、微分 ds = fx dx + fy dy 都是切平面思想的应用。

z = z₀ + fx(x₀, y₀)(x − x₀) + fy(x₀, y₀)(y − y₀)

法向量为 (fx, fy, −1)；法线是过切点、沿法向量方向的直线，参数式为切点坐标加 t 乘法向量。

如何使用切平面计算器

1
把曲面写成 z = a·x^m + b·y^n 的可分离形式，填入 a、m、b、n。
2
填入切点平面坐标 x₀、y₀，工具会自动算出 z₀。
3
点击计算，得到切点、偏导、点法式与展开式两种切平面方程。
4
法向量与法线参数式可用于后续的距离或投影计算。

计算示例

例 1抛物面 z = x² + y² 在 (1, 1)

z₀ = 2，fx = fy = 2。切平面 z = 2 + 2(x−1) + 2(y−1)，即 z = 2x + 2y − 2；法向量 (2, 2, −1)。

例 2z = x³ + y² 在 (2, 3)

z₀ = 17，fx = 3x² = 12，fy = 2y = 6。切平面 z = 17 + 12(x−2) + 6(y−3) = 12x + 6y − 25；法向量 (12, 6, −1)。

注意事项

偏导在切点必须存在，幂次 m、n 需 ≥ 1；尖点或边界点不存在切平面。
切平面是"最佳线性近似"而非"只碰一点"：对线性函数它就是函数本身。
法向量不唯一，任何非零倍数都行；工具输出 (fx, fy, −1) 这一规范形式。
隐式曲面 F(x, y, z) = 0 的法向量是 ∇F = (Fx, Fy, Fz)，与显式 z = f(x, y) 可互相转换。

常见问题

z = z₀ + fx(x₀, y₀)(x − x₀) + fy(x₀, y₀)(y − y₀)。法向量为 (fx, fy, −1)；法线是过切点、沿法向量方向的直线，参数式为切点坐标加 t 乘法向量。在切平面计算器 - 曲面切平面与法线计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

偏导在切点必须存在，幂次 m、n 需 ≥ 1；尖点或边界点不存在切平面；切平面是"最佳线性近似"而非"只碰一点"：对线性函数它就是函数本身。其余细节见页面注意事项一节。

抛物面 z = x² + y² 在 (1, 1)：z₀ = 2，fx = fy = 2。切平面 z = 2 + 2(x−1) + 2(y−1)，即 z = 2x + 2y − 2；法向量 (2, 2, −1)。

首先，把曲面写成 z = a·x^m + b·y^n 的可分离形式，填入 a、m、b、n。然后，填入切点平面坐标 x₀、y₀，工具会自动算出 z₀。全程在页面内完成，结果即时更新。

切平面是曲面在一点附近最好的线性近似：把二元函数"压平"成一张平面。

两者同属相关计算链条：偏导数计算器 - 多元函数求偏导解决的是与之衔接的另一层问题。完成切平面计算器 - 曲面切平面与法线计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到偏导数计算器 - 多元函数求偏导继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

z = x³ + y² 在 (2, 3)：z₀ = 17，fx = 3x² = 12，fy = 2y = 6。切平面 z = 17 + 12(x−2) + 6(y−3) = 12x + 6y − 25；法向量 (12, 6, −1)。

本页切平面计算器 - 曲面切平面与法线计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

全微分 dz = fx dx + fy dy 正是切平面上 z 的增量，切平面是全微分的几何化身。

(fx, fy, −1) 的 z 分量为负即朝下；(−fx, −fy, 1) 朝上，两者都是合法法向量。

一般不在。切平面只在一阶意义下贴合曲面，二阶项由海塞矩阵刻画。

参数式 (x₀, y₀, z₀) + t(fx, fy, −1) 中给 t 取值就得到法线上各点，常用于求曲面最近点迭代。

显式化为 z = f(x, y) 后方法相同；球面可用隐式法向量 ∇F，思路一致。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-09-05

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-09-05。

免责声明：本页面提供的计算结果与说明内容仅供参考，不构成医疗、税务、投资或法律等专业建议。尽管我们力求公式与数据准确，仍可能存在误差；据此做出的任何决策，请结合专业机构意见。

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