拉格朗日乘数计算器
在约束 px + qy = c 下最大化 x^m·y^n 的经典模板，展示构造拉格朗日函数、解一阶条件到求出驻点、乘子 λ 与最大值的完整过程。
最大化 f = x^m·y^n，约束 px + qy = c（经典柯布-道格拉斯 / 盒子问题模板）
什么是拉格朗日乘数计算器？
拉格朗日乘数法是求带等式约束的多元函数极值的标准方法，把约束问题转化为一组无约束方程。
几何直觉：在极值点，目标函数的等值线与约束曲线相切，两者法向量（梯度）平行，故 ∇f = λ∇g。
构造拉格朗日函数 L = f − λ(g − c)，令 L 对每个变量的偏导为零，再联立约束方程求解。
最常见的应用是"在预算内最大化产出"：如固定周长求最大矩形面积、固定成本下最优要素投入。
乘子 λ 的符号与大小直接反映约束的"紧俏程度"，是影子价格、对偶理论的核心。
∇f = λ∇g，即 fx = λ·p，fy = λ·q，且 px + qy = c
λ 称为拉格朗日乘子，其经济含义是约束放松一单位时目标函数的增量（影子价格）。
如何使用拉格朗日乘数计算器
- 1
确认目标是最大化 f = x^m·y^n（柯布-道格拉斯型），约束是线性式 px + qy = c。
- 2
填入幂次 m、n，约束系数 p、q 与常数 c。
- 3
点击计算，查看拉格朗日函数、一阶条件方程组、按幂次比例分配的驻点与最大值。
- 4
约束验证一行会自动把解代回约束式确认无误。
计算示例
例 1xy 最大化，约束 x + y = 20
m=n=1, p=q=1, c=20。x = y = 10，λ = 10，最大值 f = 100。周长 40 的矩形以正方形面积最大。
例 2预算分配：x·y² 最大化，2x + 4y = 60
x = (1/3)·(60/2) = 10，y = (2/3)·(60/4) = 10，λ = 50，最大值 1000。收入按幂次比例 1:2 分配给两种要素。
注意事项
本模板要求 m、n、c 均为正，解落在第一象限；负幂或非线性约束需另行处理。
拉格朗日条件只是驻点的必要条件，最终还需结合边界与二阶条件确认是最大还是最小。
多个约束时可引入多个乘子 ∇f = Σλᵢ∇gᵢ；不等式约束则要推广到 KKT 条件。
λ 在经济学中即影子价格：约束常数 c 增加 1 单位，目标最优值近似增加 λ。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-05
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-05。
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