梯度计算器
梯度 ∇f 把偏导数打包成一个向量：∇f=(∂f/∂x, ∂f/∂y)。它指向函数上升最快的方向，模长是该方向的变化速率；在等高线图上，梯度处处垂直于等高线。方向导数 Duf = ∇f·u 告诉你沿任意方向 u 的瞬时变化率。
函数模板：f(x,y) = A·x² + B·xy + C·y² + D·x + E·y
什么是梯度计算器？
偏导 fx(a,b)：固定 y=b，把 f 当一元函数对 x 求导；fy 同理
梯度向量 ∇f=(fx, fy)；模长 |∇f|=√(fx²+fy²) 是最大变化率
最速上升方向即 ∇f 方向，下降最快是 −∇f，等高线方向变化率为 0
方向导数 D_uf = fx·cosθ + fy·sinθ（u 为单位向量）
f(x,y)=x²+2xy 在 (1,2)：fx=2x+2y=6，fy=2x=2，∇f=(6,2)，|∇f|=√40≈6.32。沿 u=(cos45°,sin45°) 的方向导数 = 6×0.7071+2×0.7071≈5.66
本计算器用中心差分 (f(x+h)−f(x−h))÷2h（h=10⁻⁵）数值求偏导，对常用光滑函数精度可达 10⁻¹⁰ 量级。
如何使用梯度计算器
- 1
选择函数模板：多项式 / 幂函数 / 指数对数组合，或输入自定义系数
- 2
输入求导点 (a, b)
- 3
读取 fx、fy、梯度向量、模长与最速上升方向角 θ=atan2(fy,fx)
- 4
需要某方向的变化率时输入方向角 θ，读取方向导数
计算示例
例 1f=x²+2xy 在 (1,2)
解析解 fx=2x+2y=6、fy=2x=2。数值差分输出 (6.000000, 2.000000)。最速上升方向 θ=atan2(2,6)≈18.4°，沿该方向每前进 1 单位 f 约增 6.32。
例 2f=x²+y² 的梯度场
∇f=(2x,2y)，处处指向远离原点方向，模长 2r。在 (3,4) 处 ∇f=(6,8)、|∇f|=10——爬山时沿 (6,8) 方向最陡，坡度 10。
注意事项
数值差分选点太靠近函数尖点（如 |x| 在 0）会失真，模板仅覆盖光滑函数
梯度为 (0,0) 的点是驻点：极大、极小或鞍点，需二阶信息（Hessian）进一步判定
方向导数最大值 = |∇f|（沿梯度方向），最小值 = −|∇f|，沿等高线为 0
多元函数的链式法则里，梯度是与路径速度向量点乘的对象（全导数 = ∇f · r′(t)）
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-04
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Calcton. 梯度计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/gradient, 2026-09-04.
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最后更新：2026-09-04。
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