偏导数计算器

什么是偏导数计算器？

偏导数是多元函数对其中一个变量求导、同时把其余变量当作常数的结果。

对二元函数 f(x, y)，∂f/∂x 度量固定 y 时 f 沿 x 方向的瞬时变化率，∂f/∂y 同理。

一阶偏导组成的向量 ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y) 称为梯度，指向函数增长最快的方向。

二阶偏导描述变化率的变化率：fxx、fyy 是纯二阶，混合偏导 fxy 与 fyx 在连续条件下相等。

偏导数是多元微积分的基石，广泛用于梯度下降、拉格朗日乘数、热传导方程与经济学边际分析。

如何使用偏导数计算器

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   把函数写成两项幂式之和 f = a·x^m·y^n + b·x^p·y^n 的标准形，填入 a、m、n 与 b、p、q（不需要的项填 0）。

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   填入要求值的点坐标 x₀ 与 y₀。

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   点击计算，得到 fx、fy 在该点的值、三个二阶偏导以及梯度向量与模长。

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   需要一元函数时，把其中一项填 0、幂次当普通指数使用即可。

计算示例

注意事项

• 偏导存在不等于可微：一元结论"可导即可微"在多元不成立，可微要求全增量可线性近似。

• 混合偏导相等需要 fxy 与 fyx 都连续，个别病态函数会不相等。

• 本工具针对幂式模板精确求导；三角、指数等复杂函数请手工拆分或使用导数工具。

• 梯度模长 |∇f| 越大，函数在该点变化越剧烈；∇f = 0 的点是候选极值点。

常见问题

参考资料

1. [1]NIST DLMF：数学函数与公式权威参考
2. [2]Wolfram MathWorld：数学条目百科