戴德金 ψ 函数计算器

什么是戴德金 ψ 函数计算器？

戴德金 ψ 函数是什么：Richard Dedekind 在研究 η 函数（模形式之母）时引入的积性函数：ψ(n) = n∏_{p|n}(1+1/p)。它衡量模群 Γ₀(n) 的指数等几何量。

和 φ 有什么漂亮的对照：素数幂上：φ(p^a) = p^a − p^{a−1}（减去不互素的），ψ(p^a) = p^a + p^{a−1}（加上自相似的）——一减一加，镜面对称。恒有 ψ(n) ≥ φ(n)。

分析性质是什么：Dirichlet 级数 Σψ(n)n^{−s} = ζ(s)ζ(s−1)/ζ(2s)——两个 ζ 夹一个 ζ(2s)，结构极干净；这与「ψ 统计格点的自同构数」的几何身份吻合。

有什么好玩的恒等式：对奇 m：ψ(2m) = 3ψ(m)（因子 2 的贡献是 (1+1/2)·2 = 3 倍）；n 无平方因子时 ψ(n) = ∏(p+1)。

如何使用戴德金 ψ 函数计算器

1. 1

   输入 n（1–10⁹）。

2. 2

   点击「计算」，素因子分解后逐项 p^{a−1}(p+1)。

3. 3

   读取 ψ(n) 精确值。

4. 4

   对照同 n 的 φ(n)（工具同步算出）。

计算示例

注意事项

• ψ(1) = 1：空积约定。

• 积性函数：互素可拆乘——分解式逐素数计算的理论基础。

• ψ(n) 的素因子展开只含 p±1 类小素数：因子结构丰富，常用于构造「多因子数」。

• 与 J_k 的关系：ψ(n) = Σ_{d|n} |μ(d)|·? 更准确：ψ(n) = n·∏(1+1/p)，而 J₂(n) = n²∏(1−1/p²)——两者在 n 无平方因子时满足 ψ(n)·φ(n) = J₂(n)·? 验证 n=6: 12·2 = 24 = J₂(6) ✓！恒等式 ψ(n)φ(n) = n·φ(n)∏(1+1/p)…= n²∏(1−1/p)(1+1/p) = n²∏(1−1/p²) = J₂(n)。成立（无平方因子时）。

常见问题

参考资料

1. [1]NIST DLMF：数学函数与公式权威参考
2. [2]Wolfram MathWorld：数学条目百科