德拉诺伊数计算器
输入 m 与 n，工具用递推表与显式和 Σ C(m,k)C(n,k)2^k 两种算法交叉验证德拉诺伊数。
什么是德拉诺伊数计算器？
德拉诺伊数 D(m,n)（Henri Delannoy，1890 年代）计数从 (0,0) 走到 (m,n) 的格点路径数，每步允许向右、向上或斜向右上——正是国际象棋国王从一角走到对角的方案数。
中心对角线 D(n,n) = 1, 3, 13, 63, 321, 1683, ……增长极快（约 (3+2√2)ⁿ）。
显式公式 D(m,n)=Σ C(m,k)C(n,k)2ᵏ 来自「恰有 k 个斜向步」的分类：斜步消化一横一纵，剩余 m−k 横步与 n−k 纵步的排列插入方式由二项式系数给出。
它同时是多项式系数、交叉边界游走的万能模型。
D(m,n) = D(m−1,n) + D(m,n−1) + D(m−1,n−1)，D(0,n) = D(m,0) = 1
显式和：D(m,n) = Σₖ C(m,k)·C(n,k)·2ᵏ——枚举斜向步数 k。
如何使用德拉诺伊数计算器
- 1
输入 m 与 n（0–8）。
- 2
点击「计算」，查看 D(m,n) 的递推值与显式和验证。
- 3
查看完整三角表（每行 n 固定、列 m 递增）。
- 4
理解国王路径的组合意义。
计算示例
例 1D(4, 3)
显式和：k=0: 1；k=1: C(4,1)C(3,1)·2 = 24；k=2: C(4,2)C(3,2)·4 = 72；k=3: C(4,3)C(3,3)·8 = 32。总和 = 129。国王从 (0,0) 走到 (4,3) 共 129 条路径。
例 2中心德拉诺伊 D(5,5)
D(5,5) = 1683。中心线 D(n,n) 的渐近为 (3+2√2)ⁿ ≈ 5.828ⁿ——比二项路径 (pascal) 的 2²ⁿ = 4ⁿ 快。
例 3边界值
D(m,0) = 1：只能一路向右。D(1,1) = 3：右+上、斜、上+右——三种走法对应递推的三项来源。
注意事项
D(m,n) 关于 m、n 对称：D(4,3) = D(3,4)。
与勒让德多项式的关系：中心德拉诺伊 D(n,n) = Pₙ(3) 的整数化。
D(m,n) 也是「t 个骰子投出 m 点 vs n 点比较」类问题的生成多项式系数。
斜步等价于同时走横纵一步——所以 D(m,n) 恰是 C(m+n, m) 的「允许合并相邻横纵步」推广。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-15
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-15。
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