行列式计算器
九个元素算出 3×3 行列式：Sarrus 六对角线与第一行余子式展开双路互验，附可逆性与体积意义。
3×3 行列式：Sarrus 对角线法则 + 余子式展开双路验证
什么是行列式计算器？
行列式是把方阵压缩成一个数的函数：2×2 是 ad − bc，3×3 展开成六项三乘积的加减。
Sarrus 法则：写下前两列，三条主对角线乘积取正、三条副对角线乘积取负，六项相加——3×3 专属速算法。
余子式展开（拉普拉斯展开）沿任意一行/列进行，是通用方法，4×4 以上只能靠它逐层降阶。
det = 0 ⟺ 矩阵不可逆 ⟺ 行（列）向量线性相关 ⟺ 方程组无解或有无穷多解。
几何上 |det| 是行向量张成图形的体积（2×2 平行四边形面积、3×3 平行六面体体积），线性变换把单位立方体放大 |det| 倍。
det = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)；Sarrus：主对角线三积之和 − 副对角线三积之和
行列式为 0 即奇异矩阵（不可逆）；|det| 是行向量张成平行六面体的体积，也是线性变换的体积缩放倍数。
如何使用行列式计算器
- 1
按行输入 3×3 矩阵的九个元素。
- 2
点击计算，得到 Sarrus 展开的完整代入式。
- 3
余子式展开（第一行）独立复算，两路结果互验。
- 4
可逆性行直接判定 det 是否为零并解读方程组含义。
计算示例
例 1对角矩阵 diag(2, 4, 6)
det = 2×4×6 = 48（对角阵行列式 = 对角元乘积）；体积缩放 48 倍。
例 2含两行成比例的矩阵
第三行 = 2×第一行时 det 必为 0——线性相关直接"压扁"体积，行列式归零，矩阵奇异。
注意事项
Sarrus 法则只对 3×3 成立，4×4 照抄会错；高阶一律用余子式展开或行化简（三角阵行列式 = 对角元乘积）。
行列式的正负号来自排列奇偶性：交换两行变号、某行乘 k 则 det 乘 k、行加另一行不变。
det(Aᵀ) = det(A)：转置不改变行列式，行与列的地位完全对称。
det(AB) = det(A)·det(B)：乘积的行列式等于行列式的乘积，但 det(A+B) 没有类似公式。
本工具面向 3×3；2×2 直接 ad−bc 心算，4×4+ 建议先行化简成三角阵再乘对角元。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-06
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Calcton. 行列式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/determinant, 2026-09-06.
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最后更新：2026-09-06。
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