旋转矩阵计算器

二维旋转矩阵 R(θ)=[[cosθ, −sinθ],[sinθ, cosθ]]，点 (x,y) 旋转后坐标 (x·cosθ−y·sinθ, x·sinθ+y·cosθ)。约定正角为逆时针（数学正方向），顺时针取负角。

旋转矩阵是正交矩阵：行列式为 1、转置即逆矩阵，因此旋转保距保角。任意平面刚体运动都可分解为旋转+平移，这是机器人运动学、游戏引擎变换管线的代数基础。

二维旋转矩阵把点 (x, y) 绕原点逆时针旋转 θ 角：x′ = x·cosθ − y·sinθ，y′ = x·sinθ + y·cosθ。它的几何来源很直接：把 (x, y) 写成极坐标 (r, φ)，旋转后就是 (r, φ+θ)，用和角公式展开即得。逆时针为正方向是数学的惯例约定。

旋转矩阵有两个关键性质：正交性（列向量是单位向量且互相垂直）和行列式为 1。正交保证旋转不改变长度和角度——旋转是刚体运动；行列式为 1 保证不改变面积和定向。反过来，任何满足这两个性质的 2×2 矩阵都必然是某个角度的旋转矩阵。

旋转矩阵与复数乘法完全等价：点 (x, y) 看作复数 z = x + iy，乘以 e^(iθ) = cosθ + i·sinθ，展开后正是旋转公式。这个对应关系不是巧合，它揭示了旋转的本质——二维旋转群 SO(2) 与单位复数群 U(1) 同构。工程上的交流电相量分析、信号处理都建立在这个对应上。

连续旋转对应矩阵相乘，且角度直接相加：R(α)R(β) = R(α+β)。这解释了为什么旋转复合满足交换律（二维里转 30° 再转 45° 与顺序无关）。但到了三维，旋转不再交换——绕 x 轴转 90° 再绕 y 轴转 90°，与反过来的结果完全不同，这是机器人学和航天姿态控制必须小心处理的问题。

绕任意点 (a, b) 旋转的标准做法是三步：先把图形平移使旋转中心到原点（减 (a,b)），再绕原点旋转，最后平移回去（加 (a,b)）。在齐次坐标下，这三步可以合并成一个 3×3 矩阵一次完成——这正是计算机图形学所有 2D 变换的统一框架。