平移变换计算器

平移把每个点都移动相同的向量 v=(h,k)：P(x,y)→P′(x+h, y+k)。平移不改变图形的形状、大小与方向，是最基本的刚体变换。

函数图像平移遵循同一规则：y=f(x) 向右移 h 得 y=f(x−h)，向上移 k 得 y=f(x)+k。"左加右减、上加下减"的口诀本质是坐标平移与图像平移的方向差异。

平移是最简单的刚体变换：把每个点沿同一方向移动相同距离，P′ = (x + h, y + k)。平移向量 (h, k) 完全决定变换——所有点的位移一模一样，因此平移没有不动点（除非向量为零），图形的形状、大小、方向全部保持不变。

平移在函数图像变换中遵循一个口诀：y = f(x − h) 把图像向右移 h，y = f(x) + k 向上移 k。向右移要用 x − h，很多初学者觉得反直觉，原因在于你想让新图像在 x 处取到原图像 x − h 处的值——自变量减去的量才对应正向移动。

解析几何中平移常用来化简方程：把圆锥曲线的中心平移到原点，交叉项和一次项就消失了。例如圆 (x−3)² + (y+2)² = 25 平移 (h, k) = (3, −2) 后变成标准形 x² + y² = 25，一切性质（半径、对称性）立刻可读。

平移与旋转、反射的复合有固定规律：先平移再旋转 ≠ 先旋转再平移（变换不可交换），复合顺序必须按从右到左读矩阵乘积。任何平面刚体运动都可以分解为一次旋转加一次平移，这就是齐次坐标 3×3 矩阵统一表达的物理含义。

平移是欧氏几何的对称性基石：物理定律在空间平移下不变，对应动量守恒（诺特定理）。日常应用中，瓷砖铺贴的纹样、面料印花、游戏场景的无限滚动背景，都是平移对称性的直接利用。