狄利克雷 η 函数计算器
把 ζ(s) 里每一项交替变号，级数就从只在 s > 1 收敛变成全域收敛——η(s) 是黎曼 ζ 函数在临界带里的「温柔替身」。
什么是狄利克雷 η 函数计算器？
狄利克雷 η 函数定义为 η(s) = 1 − 1/2ˢ + 1/3ˢ − 1/4ˢ + …，即 ζ(s) 的交替版本。对任意复数 s（Re(s) > 0）它都收敛，而 ζ 本身只在 Re(s) > 1 收敛。
核心桥梁公式 η(s) = (1 − 2^{1−s})ζ(s) 让 η 成为 ζ 的解析延拓工具：想要 ζ 在临界带 0 < Re(s) ≤ 1 的值，先算 η 再除以 (1 − 2^{1−s}) 即可。
η(1) = ln 2 ≈ 0.6931 是最著名的特例——这正是交错调和级数的和，也是「1 − 1 + 1 − 1 + …」之外更严谨的收敛故事。
Hasse（1930）给出的求和公式把 η(s) 写成二重和，对任意 s 实数都稳定收敛，是数值实现的优选；本工具取 60 层求和，双精度误差约 1e−13。
η(s) = Σ_{n=1}^∞ (−1)^{n−1}/nˢ = (1 − 2^{1−s})·ζ(s)
Hasse 求和：η(s) = Σ_{n=0}^{60} 2^{−(n+1)} Σ_{k=0}^n (−1)^k C(n,k)/(k+1)^s
如何使用狄利克雷 η 函数计算器
- 1
输入指数 s（实数，任意值均可，包括负数与 0）。
- 2
点击计算，得到 η(s) 与按桥梁公式换算的 ζ(s)（s ≠ 1 时）。
- 3
s = 1 时 ζ 无定义（极点），工具会直接给出 η(1) = ln 2 并说明。
- 4
负偶数 s（如 −2、−4）时 η 与 ζ 同为 0——这些是平凡的零点。
计算示例
例 1示例：几个锚点值
η(1) = ln 2 ≈ 0.693147；η(2) = π²/12 ≈ 0.822467；η(0) = 1/2；η(−1) = 1/4；η(−3) = −1/8。η(0.5) ≈ 0.604899——它对应的 ζ(0.5) ≈ −1.4603542 是黎曼函数在临界线上的第一个非平凡值。
注意事项
η(s) 收敛但不是绝对收敛（0 < Re(s) ≤ 1 时），项序不能乱动——Hasse 公式正是为了绕开重排陷阱而设计的。
桥梁公式在 s = 1 处出现 0/0 型极限：1 − 2^{1−s} 与 ζ(s) 同时趋零，比值极限为 ln 2。
Hasse 公式的内层二项式系数 C(n,k) 在 n = 60 时约 1.2×10¹⁷，双精度下仍有足够余量，但层数不宜超过 80。
η 的零点 = ζ 的非平凡零点 ∪ {1 − 2^{1−s} 的零点}，后者是 s = 1 + 2πik/ln 2 的虚部周期点，并非 ζ 的零点。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-21
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最后更新：2026-09-21。
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