两平方和定理计算器
输入正整数，工具按费马圣诞定理判定两平方和可表示性并枚举全部表示。
费马两平方和定理：正整数 n 能写成 x²+y² 当且仅当 n 的每个 ≡3 (mod 4) 素因子都带偶次幂。奇素数 p 可表示当且仅当 p≡1 (mod 4)，且表示唯一。
什么是两平方和定理计算器？
两平方和定理回答一个古老的问题：哪些正整数可以写成两个完全平方之和 x²+y²？答案出人意料地简洁：n 可表示当且仅当 n 的质因数分解中，每个形如 3 mod 4 的素数（3、7、11、19……）都出现偶数次。
奇素数 p 可表示当且仅当 p≡1 (mod 4)（如 5=1²+2²、13=2²+3²、17=1²+4²），且表示方式唯一。
费马在 1640 年圣诞节写给梅森的信中宣布了这一定理，因此它被称为「费马圣诞定理」——信封上的节日装饰恰好暗示 x²+y² 的几何意义。
第一个完整证明由欧拉在 1749 年给出，用了整整六年。
n = x² + y² 可解 ⟺ 每个 ≡3 (mod 4) 素因子的指数均为偶数
费马圣诞定理（1640 年信件，欧拉 1749 年证明）；素数 p≡1 (mod 4) 恰有唯一表示。
如何使用两平方和定理计算器
- 1
输入待判定的正整数 n（上限 10,000,000）。
- 2
点击「判定与求表示」，工具先做素因数分解。
- 3
查看 3 mod 4 素因子的指数是否全部为偶数——这是可表示的充要条件。
- 4
若可表示，工具用枚举法列出全部 x≤y 的表示组合。
- 5
素数输入会额外显示模 4 余数的唯一性结论。
计算示例
例 1n = 1105（印度数学家拉马努金钟爱的出租车数亲戚）
1105 = 5×13×17，三个素因子全部 ≡1 (mod 4)，没有任何 3 mod 4 阻碍。枚举得 1105 = 4²+33² = 9²+32² = 12²+31² = 23²+24²——四种两平方和表示，是 50 以内表示数最多的数之一。
例 2n = 21
21 = 3×7，3 与 7 都 ≡3 (mod 4) 且指数为 1（奇数），定理立刻判定不可表示。枚举验证：4²+2²=20、4²+3²=25，确实找不到任何 x²+y²=21。
例 3素数 97
97 ≡ 1 (mod 4)，可表示且唯一：97 = 4²+9²。这正是费马圣诞定理的核心情形——模 4 余 1 的素数与两平方和一一对应。
注意事项
判定只依赖 ≡3 (mod 4) 素因子的奇偶性：2 的幂和 1 mod 4 素因子完全不影响可表示性。
表示个数有精确公式：r₂(n)/8 等于 n 的全部 ≡1 (mod 4) 素因子指数加 1 与 ≡3 (mod 4) 素因子偶指数（各加 1）的乘积。
工具枚举表示时限制 x ≤ y 且最多显示 6 组，超大 n 的表示可能更多。
素数 p≡3 (mod 4) 永远不可表示——这是高斯整数 Z[i] 中素理想结构的直接体现。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-15
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Calcton. 两平方和定理计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/fermat-two-squares, 2026-09-15.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-15。
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