佩尔方程计算器
x² − Dy² = 1 是数论中历史最悠久的丢番图方程之一，欧拉误冠以 Pell 之名。它的解与 √D 的连分数展开深度绑定。
求佩尔方程 x² − D·y² = 1 的最小正整数解（D 为非完全平方数）。方法：√D 的连分数展开收敛分数。
什么是佩尔方程计算器？
佩尔方程求使 x² − Dy² = 1 的整数解，D 为非完全平方数。
√D 是周期连分数，其收敛分数 p/q 恰好满足 |p² − Dq²| = 1 或更小的余项；展开到第一个完整周期（偶周期）或两倍周期（奇周期）处的收敛分数就是最小正解。
最小解可以大得惊人：D = 61 时 x₁ = 1766319049——这是 Bhāskara 在 12 世纪就解出的难题。
x + y√D = (x₁ + y₁√D)^k，k = 1, 2, 3, …
(x₁, y₁) 为连分数法求出的最小正解；全部正解都是它的幂。周期为奇数时取第 2m 项收敛分数。
如何使用佩尔方程计算器
- 1
输入 D（2–2000，非完全平方数）。
- 2
点击计算，工具展开 √D 的连分数并标出周期。
- 3
按周期规则取收敛分数，输出最小正解 (x₁, y₁) 并验证 x² − Dy² = 1。
- 4
同时给出第二个解（最小解的平方）与通解公式。
计算示例
例 1D = 2
√2 = [1; 2, 2, 2, …] 周期 1（全为 2），收敛分数 3/2 满足 3² − 2×2² = 1。下一个解 17/12：17² − 2×12² = 289 − 288 = 1。勾股近似半正方形的连分数 99/70 也来自这里。
例 2D = 61（印度数学奇迹）
最小解 x = 1766319049, y = 226153980。费马曾以此挑战英国数学家，最终由 Bhāskara 的 chakravala 方法（循环节法）先于欧洲给出。
注意事项
D 完全平方时方程退化为 (x−s·y)(x+s·y)=1，只有平凡解。
x² − Dy² = −1（负佩尔方程）只有当 √D 连分数周期为奇数时才有解，如 D=2、D=5。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-14
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-14。
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