连分数计算器
输入任意实数，展开为简单连分数 [a₀; a₁, a₂, …]，逐层给出渐近分数及其误差，内置黄金比例、√2、π、e 四个经典预设。
什么是连分数计算器？
简单连分数把实数写成"整数部分加倒数"的嵌套结构：x = [a₀; a₁, a₂, …]。
有限连分数一定是有理数；无限连分数对应无理数，且无理数的展开唯一。
截取前 n 层得到的分数 hₙ/kₙ 称为第 n 个渐近分数，是分母不超过 kₙ 的最佳有理逼近。
黄金比例的展开全是 1，是"最难被有理数逼近"的数；√2 的展开是 [1; 2, 2, 2, …]。
连分数在历法设计（闰年规则）、齿轮速比、行星会合周期与密码学中都有实际应用。
x = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ⋯)))
渐近分数递推：hₙ = aₙ·hₙ₋₁ + hₙ₋₂，kₙ = aₙ·kₙ₋₁ + kₙ₋₂；每多取一层，精度至少提高一位。
如何使用连分数计算器
- 1
输入一个小数或整数（也可直接选 φ、√2、π、e 预设）。
- 2
选择展开层数 6 / 8 / 12。
- 3
点击计算，得到连分数记法与逐层渐近分数及误差列。
- 4
误差列快速下降至 10⁻¹² 级即已达到双精度极限，无需更多层。
计算示例
例 1π ≈ 3.14159 的展开
[3; 7, 15, 1, 288, …]。第 3 层渐近分数 355/113 ≈ 3.1415929，误差约 2.7×10⁻⁷，正是祖冲之的密率。
例 2黄金比例 φ
φ = [1; 1, 1, 1, …] 全部为 1。渐近分数 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5 … 分子分母正是斐波那契数列，相邻比值趋近 φ。
注意事项
浮点展开在误差逼近 10⁻¹² 时终止，显示的"…"代表后续层已不可靠，并非真实展开。
整数输入的展开只有一层 a₀，渐近分数表也只剩首行。
负数展开遵循"取下整"约定，如 −1.5 → [−2; 2]，与部分文献的截断约定不同。
渐近分数的误差满足 |x − hₙ/kₙ| < 1/(kₙkₙ₊₁)，分母越大越准。
与"分数化简"工具互补：那里处理既定分数，这里研究任意实数的逼近结构。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-05
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Calcton. 连分数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/continued-fraction, 2026-09-05.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-05。
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