频率转音符

频率每翻一倍，音高升高一个八度。十二平均律把八度均分为 12 个半音，因此第 n 个半音的频率是 440 × 2^((n−69)/12)，其中 n 是 MIDI 音符号（A4 = 69）。反过来，给定频率就能求出最近的半音位置：n = 69 + 12 × log2(f ÷ 440)。

实际测量中，音很少正好落在标准频率上，偏差用「音分」表示：一个半音 = 100 音分。人耳能分辨的最小音差约 5–6 音分；专业调音通常要求误差在 ±3 音分以内，偏差 ±50 音分就意味着已经到了相邻两个音的正中间。

440 Hz 成为国际标准其实相当晚。1939 年伦敦国际会议才首次推荐 A4=440，1955 年 ISO 正式定为 ISO 16。此前欧洲的音高混乱到什么程度：17 世纪德国教堂管风琴有 A=465 的，同期英国有 A=380 的，同一首曲子换个教堂就要重新适应。亨德尔用的音叉是 A=422.5，莫扎特时代约 A=421。现代「早期音乐」运动复兴历史音高：巴洛克标准 A=415（比现代低半音），古典主义 A=430，浪漫主义乐器因制造商军备竞赛一路爬升到 A=450 以上——施特劳斯曾抱怨铜管乐器为追求明亮不断推高音高。当代柏林爱乐用 A=443，维也纳爱乐用 A=444，比标准略高以获得更亮的音色。

音分（cent）是 Alexander Ellis 1885 年发明的对数单位，把一个八度均分为 1200 份，让任何音程都可以用加法比较。它的妙处在于符合人耳的对数听觉：频率差 1 Hz 在 100 Hz 处很刺耳（约 17 音分），在 2000 Hz 处完全无感（不到 1 音分）。调音师的工作精度通常在 ±2 音分；交响乐团的弦乐声部会自动向纯律聚拢（无固定音高乐器），而合上钢琴后就必须接受平均律——小提琴协奏曲里独奏家比乐队「高一点」的著名现象，部分是独奏者刻意略高以获得穿透力（约 +10 音分）。频谱分析找基频的技巧：人声的基频常被泛音掩盖，电话滤波后的语音只剩泛音，大脑会自动「脑补」基频（missing fundamental 现象），这也是小喇叭能听出低音的心理声学基础。