Frobenius 数计算器
6、9、20 块装鸡块凑不出 43 块，但 44 块及以上全能凑——Frobenius 数就是那条「此后皆可达」的分界线。
什么是Frobenius 数计算器？
Frobenius 数 g(a₁,…,aₖ)：给定互素正整数集，不能写成它们的非负组合的最大整数。面额 {3, 5} 时 g = 7（7 无法凑出，8 = 3+5、9 = 3+3+3、10 = 5+5……之后全部可达）。
两枚硬币有封闭式（Sylvester 定理）：g(a,b) = ab − a − b。g(3,5) = 15−8 = 7、g(5,7) = 35−12 = 23、g(7,11) = 77−18 = 59——手算秒出。
三枚以上无任何封闭式（k = 3 的 NP-hard 传言源于算法复杂度而非不可计算）：经典鸡块问题 g(6,9,20) = 43——麦当劳曾以 6/9/20 块装出售鸡块，43 是唯一买不到的块数（2000 块以内验证后 Frobenius 命名）。
不可表示数的个数也有公式：两币情形恰好 (a−1)(b−1)/2 个——g(3,5) 时 (2)(4)/2 = 4 个（1, 2, 4, 7）。可达性 DP 顺便输出完整不可表示清单。
g(a₁,…,aₖ) = max{ n : n 不能表示为 Σaᵢxᵢ，xᵢ ≥ 0 }；g(a,b) = ab − a − b（gcd(a,b) = 1）
DP 可达性：cap = a_min × a_sec × 2 + 100，O(cap·k)
如何使用Frobenius 数计算器
- 1
输入 2 至 3 个面额（2 到 999，第三个可留空）。
- 2
工具先检查 gcd 是否为 1——公因子非 1 时无穷多整数不可表示，Frobenius 数无定义。
- 3
DP 计算可达集合，输出 g 值与全部不可表示数（≤ 50 个展示）。
- 4
对照锚点：g(3,5) = 7、g(6,9,20) = 43、g(4,6,9) = 11、g(5,7) = 23。
计算示例
例 1示例：鸡块问题
面额 6、9、20：1–5 不可达；6 ✓；7–8 ✗；9 ✓；10 ✗；11–20 混合（12 = 6+6、18 = 9+9、20 ✓、26 = 6+20 ✓）；43 = ？44 = 20+6×4 ✓、45 = 9×5 ✓、46 = 20+20+6 ✓、47 = 20+9×3 ✓、48 = 6×8 ✓——44 到 48 连续可达，此后每个数可加 6 延续：g = 43。
注意事项
gcd 条件是生死线：面额 {6, 10}（gcd = 2）使一切奇数永久不可达——Frobenius 数不存在。工具会直接拒绝并解释。
DP 上限取 a_min × a_sec × 2 + 100：两两互素时 Sylvester 型上界保证 g < a₁a₂，再乘 2 加余量绝对安全；k ≥ 3 时经验上 g 更小。
不可表示数的个数 N(a₁,…,aₖ)（Frobenius 问题的「伴生问题」）在 k = 2 时 = (a−1)(b−1)/2，k ≥ 3 无封闭式——DP 清单就是答案。
「数值 g 之后全部可达」是定义的直接推论：g 是最大不可达数，g+1 起每一个都能找到组合；DP 中体现为可达数组尾部连续为真。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-21
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引用本页
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Calcton. Frobenius 数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/frobenius-number, 2026-09-21.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-21。
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