无穷几何级数敛散性与求和计算器
无穷几何级数是最基本的常数项级数：首项 a、公比 r，|r| < 1 时收敛于 a/(1−r)，|r| ≥ 1 时发散。输入 a 与 r，看部分和如何逼近精确和。
| n | 前 n 项和 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 1.5 |
| 3 | 1.75 |
| 4 | 1.875 |
| 5 | 1.9375 |
| 6 | 1.96875 |
| 7 | 1.984375 |
| 8 | 1.992188 |
| 9 | 1.996094 |
| 10 | 1.998047 |
什么是无穷几何级数计算器？
无穷几何级数 Σar^(n−1) 是少数能精确求和的无穷级数。
收敛判据极其干净：|r| < 1 收敛，|r| ≥ 1 发散。
求和公式 S = a/(1−r) 来自部分和取极限：Sₙ = a(1−rⁿ)/(1−r)。
芝诺悖论（阿基里斯追龟）正是几何级数：1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1。
循环小数化分数、复利、概率递推都依赖这个公式。
S = a / (1 − r)，|r| < 1
部分和 Sₙ = a(1 − rⁿ)/(1 − r)，rⁿ → 0 时收敛到上式。
如何使用无穷几何级数计算器
- 1
输入首项 a 与公比 r。
- 2
结果区展示 |r| 与判据对照、精确和（收敛时）与部分和表。
- 3
前 10 项部分和与精确和之差可见收敛速度。
- 4
试 r = 0.9、0.99 感受收敛变慢，r = 1 与 r = −2 看发散。
计算示例
例 1芝诺级数
a = 1/2、r = 1/2：S = (1/2)/(1/2) = 1，部分和 10 项已达 0.99902。
例 2循环小数 0.999…
a = 9/10、r = 1/10：S = 0.9/0.9 = 1，严格证明 0.999… = 1。
注意事项
r = 1 时各项恒为 a，部分和线性增长，发散。
r = −1 时部分和在 a 与 0 间振荡，不收敛。
求和公式只对从第 1 项开始的完整级数成立，截段求和要另算。
复利贴现的永续年金现值 PV = C/r 就是几何级数求和。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-11
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最后更新：2026-09-11。
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