黄金分割搜索在线计算器

Q: 黄金分割搜索的公式怎么写？

x₁ = b − τ(b−a)，x₂ = a + τ(b−a)，τ = (√5−1)/2 ≈ 0.618。 每步仅需 1 次新函数求值（试探点复用），区间长度按 0.618^k 线性收缩。 在黄金分割搜索计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

Q: 怎么使用黄金分割搜索？

首先，选择内置测试函数：(x−2)²+1、−sin x 或 (x−1)⁴−3。 然后，输入包含极小点的区间 [a,b] 与迭代次数（1–60）。 全程在页面内完成，结果即时更新。

什么是黄金分割搜索计算器？

黄金分割搜索是一维无导数优化的经典算法：对单峰函数（先减后增或先增后减），在区间 [a,b] 内按黄金比 τ=(√5−1)/2≈0.618 放置两个试探点 x₁=b−τ(b−a) 与 x₂=a+τ(b−a)，比较 f(x₁) 与 f(x₂) 后舍去较差一侧，区间每步收缩为原来的 0.618。

它的精髓在于「复用」：下一次迭代只需再求一个新试探点的值，因为旧的两个试探点之一恰好落在新区间黄金分割位置上——这与斐波那契搜索是同族算法的极限形式。

x₁ = b − τ(b−a)，x₂ = a + τ(b−a)，τ = (√5−1)/2 ≈ 0.618

每步仅需 1 次新函数求值（试探点复用），区间长度按 0.618^k 线性收缩。

如何使用黄金分割搜索计算器

1
选择内置测试函数：(x−2)²+1、−sin x 或 (x−1)⁴−3。
2
输入包含极小点的区间 [a,b] 与迭代次数（1–60）。
3
点击「搜索」，查看最终收缩区间、x* 与 f(x*) 的估计。
4
对比实际收缩因子与理论 0.618^k，验证收敛速率。

计算示例

例 1(x−2)²+1，区间 [0,5]，30 次迭代

理论收缩 0.618³⁰ ≈ 5.3×10⁻⁷，区间长度从 5 缩到约 2.6×10⁻⁶。x* ≈ 2.000000，f(x*) ≈ 1.000000——无需任何导数信息。

例 2−sin x，区间 [0,π]

目标是最小化 −sin x，即最大化 sin x。黄金分割搜索 25 步内把区间收缩到 π/2 附近 10⁻⁵ 精度，x* ≈ 1.5707963。

例 3(x−1)⁴−3 的平坦底部

四阶平坦函数在 x=1 附近函数值几乎不变化，数值上 f(x₁) 与 f(x₂) 的比较变得脆弱——这正是黄金分割搜索的适用边界：单峰但极度平坦的函数建议先用粗网格定位。

注意事项

必须先保证单峰性：多峰函数会收敛到局部极小（区间内最高峰可能被直接舍弃）。
每步只需 1 次新函数求值是它与二分法（导数版）并列的最大优点——二分需要导数，三分法每步要 2 次求值。
0.618³ᵏ 的收敛是线性的；若函数求值成本极高，可先用抛物线拟合（Brent 方法）加速，黄金分割是其保底骨架。
黄金比 τ 满足 τ² = 1−τ——区间复用的几何条件正是这个方程。

常见问题

x₁ = b − τ(b−a)，x₂ = a + τ(b−a)，τ = (√5−1)/2 ≈ 0.618。每步仅需 1 次新函数求值（试探点复用），区间长度按 0.618^k 线性收缩。在黄金分割搜索计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

必须先保证单峰性：多峰函数会收敛到局部极小（区间内最高峰可能被直接舍弃）；每步只需 1 次新函数求值是它与二分法（导数版）并列的最大优点——二分需要导数，三分法每步要 2 次求值。其余细节见页面注意事项一节。

(x−2)²+1，区间 [0,5]，30 次迭代：理论收缩 0.618³⁰ ≈ 5.3×10⁻⁷，区间长度从 5 缩到约 2.6×10⁻⁶。x* ≈ 2.000000，f(x*) ≈ 1.000000——无需任何导数信息。

首先，选择内置测试函数：(x−2)²+1、−sin x 或 (x−1)⁴−3。然后，输入包含极小点的区间 [a,b] 与迭代次数（1–60）。全程在页面内完成，结果即时更新。

黄金分割搜索是一维无导数优化的经典算法：对单峰函数（先减后增或先增后减），在区间 [a,b] 内按黄金比 τ=(√5−1)/2≈0.618 放置两个试探点 x₁=b−τ(b−a) 与 x₂=a+τ(b−a)，比较 f(x₁) 与 f(x₂) 后舍去较差一侧，区间每步收缩为原来的 0.618。

两者同属相关计算链条：黄金分割计算器 - 比例分割在线计算解决的是与之衔接的另一层问题。完成黄金分割搜索计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到黄金分割计算器 - 比例分割在线计算继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

−sin x，区间 [0,π]：目标是最小化 −sin x，即最大化 sin x。黄金分割搜索 25 步内把区间收缩到 π/2 附近 10⁻⁵ 精度，x* ≈ 1.5707963。

输入包含极小点的区间 [a,b] 与迭代次数（1–60）。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页黄金分割搜索计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

同为线性收敛：二分（用于方程求根）每步缩 0.5，黄金分割缩 0.618——二分更快，但二分需要导数或函数变号；黄金分割对「最小值在哪」这类问题更普适。

试探点把区间分成 (1−τ):τ ≈ 0.382:0.618 的比例，正是黄金比；这个比例保证了下一步的试探点恰好可以复用——任何其他比例都无法复用求值。

可以按坐标轮换（坐标下降），但效率低；多维无导数优化通常用 Nelder-Mead 单纯形法，黄金分割多作为其中一维搜索的内层引擎。

参考资料

凯文内容作者Calcton 数学编辑组口径审核Calcton 编辑组交叉审核· 内容更新于 2026-09-15

负责 Calcton 的公式核对与内容撰写：每个工具的公式都注明出处，示例数字经过程序复算，健康与判定标准一律采用国际口径。

Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。

参考来源与更新说明

本页公式与判定标准参考以下权威资料：

最后更新：2026-09-15。

免责声明：本页面提供的计算结果与说明内容仅供参考，不构成医疗、税务、投资或法律等专业建议。尽管我们力求公式与数据准确，仍可能存在误差；据此做出的任何决策，请结合专业机构意见。

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