积分判别法（柯西积分判别）计算器
积分判别法把级数与积分比较：f(n) = 1/nᵖ 对应 ∫₁^∞ dx/xᵖ。p > 1 时积分有限、级数收敛；p ≤ 1 时两者同发散。本工具还给出残差的上下界。
什么是积分判别法计算器？
积分判别法（柯西-麦克劳林）用反常积分判定正项级数敛散性。
对正、连续、递减的 f，级数 Σf(n) 与 ∫₁^∞ f(x)dx 同敛散。
p 级数是直接应用：∫₁^∞ x^(−p)dx 在 p > 1 时收敛。
该判别法还附带定量估计：余项 R_N 被夹在两个积分之间。
巴塞尔问题 Σ1/n² = π²/6 可由 p = 2 判收敛后用其他方法求值。
∫_{N+1}^∞ f(x) dx ≤ R_N ≤ ∫_N^∞ f(x) dx
R_N 为删去前 N 项后的余项，f 需正、连续、递减。
如何使用积分判别法计算器
- 1
输入指数 p（0.1 到 10）。
- 2
输入部分和项数 N（5 到 50 万）。
- 3
结果给出判据结论、S_N 值与收敛时总和所在的区间。
- 4
p = 1 即调和级数，可看到发散与 ln N 的对数增长。
计算示例
例 1巴塞尔级数
p = 2、N = 50：S₅₀ ≈ 1.62513，总和界 [1.62513, 1.64513]，真值 π²/6 ≈ 1.64493 落在区间内。
例 2调和级数发散
p = 1 时 ∫ dx/x = ln x → ∞，级数与积分同步发散。
注意事项
f 必须正、连续且最终递减，否则判据不适用（如 1/n² 振荡项不满足递减）。
残差界要求 p > 1；p ≤ 1 时余项本身就是无穷。
总和区间宽度即 R_N 的不确定性，随 N 增大而收紧。
Euler-Maclaurin 公式可把区间压缩到任意精度。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-11
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 积分判别法计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/integral-test, 2026-09-11.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-11。
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