约当函数 J_k(n) 计算器
欧拉函数 φ 数「与 n 互素的余数」；约当函数 J_k 把这件事搬进 k 维：数 (Z/n)ᵏ 里与原点连线不撞格点的向量。J₁ 就是 φ，J₂、J₃ 各管一片新天地。
什么是约当函数计算器？
约当函数是什么：Camille Jordan 1870 年定义的积性函数：J_k(n) = n^k ∏_{p|n}(1 − 1/p^k)。几何意义：模 n 的 k 维格点 (Z/n)^k 中，与「原点方向」生成元互素的向量个数。
和欧拉函数什么关系：k = 1 时 J₁(n) = φ(n)——约当函数是欧拉函数的高维推广；两者公式只差把 p^−1 换成 p^−k。
出现在哪里：k 维法里序列长度 Nₖ(n) = Σ_{d|n} J_k(d)；n 阶有限域上多项式计数；群论里 GL 与 SL 的阶公式骨架。
怎么精确计算：素因子分解后逐项 p^{(a−1)k}(p^k − 1) 全程 BigInt 相乘——没有分数、没有浮点误差，10⁹ 内瞬间完成。
J_k(n) = n^k · ∏_{p|n} (1 − 1/p^k) = ∏_{p^a||n} p^{(a−1)k}(p^k − 1)
积性函数；k=1 退化为 φ(n)；J_k(p^a) = p^{ak} − p^{(a−1)k}
如何使用约当函数计算器
- 1
输入 n（2–10⁹）与维数 k（1–6）。
- 2
点击「计算」，得到素因子分解。
- 3
逐项展开 p^{(a−1)k}(p^k − 1) 并求积。
- 4
k=1 时对照 φ(n) 验证退化关系。
计算示例
例 1例：J₂(6) = 24
6 = 2·3：J₂(6) = (2²−2⁰·?)·… = 2^{0·2}(2²−1)·3^{0·2}(3²−1) = 3·8 = 24。用公式验证：36·(1−1/4)(1−1/9) = 36·(3/4)(8/9) = 24 ✓。
注意事项
k=1 恒等于 φ(n)：工具把这一对照内置，方便校验。
J_k(n) 对 n=1 约定为 1（空积）。
积性：n、m 互素时 J_k(nm) = J_k(n)J_k(m)——分解式逐素数独立相乘的依据。
p^{ak} 增长极快：n=10⁹、k=6 时结果可达 54 位，BigInt 必需。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-20
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Calcton. 约当函数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/jordan-totient, 2026-09-20.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-20。
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