最小二乘回归计算器

斜率 b = (nΣxy − ΣxΣy) ÷ (nΣx² − (Σx)²) 截距 a = ȳ − b·x̄ r = (nΣxy − ΣxΣy) ÷ √[(nΣx² − (Σx)²)(nΣy² − (Σy)²)] R² = r²。 例：五组数据 (1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,4)、(5,6)，n = 5，Σx = 15，Σy = 20，Σxy = 69，Σx² = 55。b = (5×69 − 15×20) ÷ (5×55 − 15²) = 45 ÷ 50 = 0.9，a = 4 − 0.9×3 = 1.3，方程 y = 1.3 + 0.9x。r = 45 ÷ √(50×50) = 0.9，R² = 0.81。 在最小二乘回归计算器 - 直线拟合与R方在线计算计算器中输入参数即可按此公式自动求解，无需手工推导。

R² 高不等于因果：冰淇淋销量与溺水人数同季上涨，回归只描述共变，不回答「谁导致谁」；外推要谨慎：超出数据范围的预测误差会放大，预测点离数据中心越远越不可信。 其余细节见页面注意事项一节。

学习时长与得分：五组数据 (1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,4)、(5,6)。斜率 0.9 表示每多学 1 单位时长平均多得 0.9 分，方程 y = 1.3 + 0.9x，R² = 0.81。预测 x = 6 时 y = 1.3 + 0.9×6 = 6.7。：b = 45 ÷ 50 = 0.9，a = 4 − 0.9×3 = 1.3，r = 0.9，R² = 0.81。

首先，第一步：准备至少 2 组成对数据（x, y），如学习时长与得分、面积与房价。 然后，第二步：逐行输入数据点，行数不够可添加。 全程在页面内完成，结果即时更新。

最小二乘回归（Ordinary Least Squares）是最常用的直线拟合方法：它寻找一条直线，使每个数据点到直线的竖直距离平方之和最小。拟合结果 y = a + bx 中，b 是斜率（x 每增加 1，y 平均变动多少），a 是截距（x = 0 时的基准值）。

两者同属相关计算链条：平均数计算器 - 加权·截尾·几何·调和在线计算解决的是与之衔接的另一层问题。完成最小二乘回归计算器 - 直线拟合与R方在线计算计算后，页面底部相关推荐区可直接跳转到平均数计算器 - 加权·截尾·几何·调和在线计算继续演算，参数在同类工具间口径一致，交叉验证更方便。

完全线性：三点 (1,3)、(2,5)、(3,7)。斜率 b = 2，截距 a = 1，r = 1，R² = 1，所有点恰好落在 y = 1 + 2x 上，拟合零残差。：Σxy = 3+10+21 = 34，b = (3×34 − 6×15) ÷ (3×14 − 36) = 12 ÷ 6 = 2。

输入数据点。超出合理范围的输入可能导致结果无实际意义，页面注意事项一节标明了边界条件与单位口径。

本页最小二乘回归计算器 - 直线拟合与R方在线计算计算器与页面内的公式、示例、对照表同源，全部数字由同一套程序实时计算。可用一个已知算例代入验证：先在示例一节找到演算过程，再用相同参数在计算器中复算一遍，两次结果一致即说明口径无误。

计算过程按双精度浮点执行，结果默认保留 4 位有效小数，页面会按数值大小自动切换科学计数法。对照表中的数值与计算器输出完全同源，不存在手工四舍五入引入的偏差。

没有统一标准：物理实验常要求 0.99 以上，行为社会科学中 0.3 已有参考价值。重点是结合领域背景解读，并与散点图对照确认没有被个别极值带偏。

一元线性回归中 R² = r²，两者信息等价；r 保留正负号（表示同向或反向），R² 恒为正，只表示解释力度。

不需要。最小二乘只要求成对数值，x 可以任意分布；不过 x 的跨度越大、点数越多，斜率估计越稳定。