线性组合计算器
「v 等于多少个 a 加多少个 b」是线性代数的第一问。输入两个基向量与目标向量，判定能否表出、唯一表出还是共线退化，并给出系数与回代验证。
线性组合计算器：判断 v 能否由 v₁ v₂ 线性表出，克拉默法则求系数并回代验证
什么是线性组合计算器？
线性组合就是「数乘后再相加」：a·v₁ + b·v₂。若每个平面向量都能写成 v₁ 与 v₂ 的线性组合，就称 v₁、v₂ 张成整个平面，是一组基。
能否表出由行列式 D = x₁y₂ − x₂y₁ 决定：D ≠ 0 时 v₁ 与 v₂ 线性无关，任何向量都能被唯一表出；D = 0 时两者共线，只能张成一条直线。
求系数的标准手法是克拉默法则：把目标向量替换基向量逐个算行列式再除以 D。几何上，系数 a 与 b 就是沿 v₁、v₂ 「走格子」到达 v 所需的步数——可为负（倒着走）。
D = x₁y₂ − x₂y₁；a = (x·y₂ − x₂·y)/D；b = (x₁·y − x·y₁)/D（D ≠ 0）
v₁ = (x₁, y₁)、v₂ = (x₂, y₂) 为基向量，v = (x, y) 为目标向量。D 为行列式，D ≠ 0 保证唯一解；D = 0 时两基向量共线。
如何使用线性组合计算器
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第一步：输入 v₁ 的两个分量（x₁, y₁）与 v₂ 的两个分量（x₂, y₂）。
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第二步：输入目标向量 v = (x, y)，点击计算。
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第三步：读取行列式 D 与判定结论：D ≠ 0 时给出唯一系数 a 与 b。
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第四步：查看回代验证行——a·v₁ + b·v₂ 与目标向量逐分量比对，误差应为 0。
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第五步：若提示共线，看「判定」行区分两种情形：目标也在直线上（无穷多解）或不在（无解）。
计算示例
例 1常规表出
v₁ = (2, 1)、v₂ = (−1, 3)、v = (5, 5)：D = 2×3 − (−1)×1 = 7；a = (5×3 + 5)/7 = 20/7；b = (2×5 − 5)/7 = 5/7。验证：20/7 × (2,1) + 5/7 × (−1,3) = (35/7, 35/7) = (5, 5) ✓。
例 2共线无解
v₁ = (1, 2)、v₂ = (2, 4)（D = 0）、v = (1, 1)：三向量不同线，v 无法表出——两个基向量只铺出直线 y = 2x，而 (1, 1) 不在线上。
例 3共线无穷解
v₁ = (1, 2)、v₂ = (2, 4)、v = (3, 6)：v 恰在同一直线上，任何满足 2a + b = 3 的组合都行——解不唯一，基「退化」了。
注意事项
系数可以是任意实数，包括负数与分数：负系数表示沿该基向量的反方向走。
D 的绝对值还有几何意义：等于 v₁、v₂ 张成的平行四边形面积——D 越小，基越「扁」，数值稳定性越差。
三维推广需要三个线性无关向量与 3 × 3 行列式；克拉默法则对高维成立但计算量大，实用中用高斯消元。
「线性相关」与「共线」在二维是同义语；三维及以上「相关」还包括三向量共面等情形。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-07
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 线性组合计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/linear-combination, 2026-09-07.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-07。
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