梅森数 2^p − 1 素性判定（卢卡斯-莱默测试）
人类迄今发现的最大素数全都是梅森素数 2^p − 1——因为有一个专门为它设计的极速算法：卢卡斯-莱默测试。输入指数 p，BigInt 实现测试过程，判定梅森数的素性。
梅森数 2^p − 1 素性判定：卢卡斯-莱默测试（发现人类最大素数的算法）
什么是梅森数计算器？
梅森数 Mₚ = 2^p − 1 以法国修士马林·梅森命名——他在 1644 年列出了当时已知的 11 个使 2^p − 1 为素数的指数。
p 为合数时 Mₚ 必为合数（2^ab − 1 被 2^a − 1 整除），所以搜索只看素数指数。
卢卡斯-莱默测试（1878/1930s）是梅森素数的专属算法：p − 2 步「平方减二取模」，比通用素性测试快几个数量级——GIMPS 分布式计算靠它持续刷新人类最大素数纪录。
欧拉定理：Mₚ 为素数时，2^(p−1)·Mₚ 恰是完全数——每个梅森素数唯一对应一个偶完全数，反之亦然。
Mₚ = 2^p − 1；卢卡斯-莱默：s₀ = 4，sᵢ = s²ᵢ₋₁ − 2 (mod Mₚ)，共 p − 2 步；s(p−2) ≡ 0 当且仅当 Mₚ 为素数
前提：p 必须是素数（p 为合数时 2^p − 1 必为合数）。测试只需 BigInt 平方与取模，不需要试除。
如何使用梅森数计算器
- 1
输入指数 p（2 到 200；工具自动先检查 p 是否为素数）。
- 2
点击计算：BigInt 执行 p − 2 步卢卡斯-莱默迭代，输出 M 值（大数截断展示位数）与素性判定。
- 3
结果附已知梅森素数指数清单与欧拉完全数对应说明。
计算示例
例 1p = 31
M₃₁ = 2147483647（2³¹ − 1，恰好是 32 位有符号整数上限）。卢卡斯-莱默 29 步后 s ≡ 0 → 梅森素数 ✓（欧拉 1772 年验证）。
例 2p = 11
M₁₁ = 2047 = 23 × 89——p 是素数但 M 不是：梅森数是素数不必充分，卢卡斯-莱默测试如实报出。
例 3p = 61
M₆₁ = 2305843009213693951（19 位）是梅森素数——第 9 个梅森素数，皮尔斯 1883 年手工验证。
注意事项
p 上限 200：M₂₀₀ 是 61 位数字，200 步大数平方取模毫秒级完成；真实 GIMPS 搜 p 上亿位，那是百万核时的工作。
p 非素数时直接判负：不用跑测试（代数保证合数）。
卢卡斯-莱默的「−2」与模 M 是精华：把指数级搜索压成线性步数，每步只是大数平方。
已知梅森素数指数：2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, …——第 48 个已知的是 p = 57885161（2013）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-08
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Calcton. 梅森数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/mersenne, 2026-09-08.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-08。
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