在线完全数计算器
输入正整数，立即得到真因子列表、因子和与完全数/亏数/盈数判定，附梅森素数联系。
不会填？用示例数据试算（示例：n=28）
什么是在线完全数计算器？
完全数（Perfect Number）是「等于自身全部真因子之和」的数：真因子指除自身外的正因子。6 = 1+2+3、28 = 1+2+4+7+14，是最小的两个完全数；496、8128 紧随其后。反过来，因子和小于自身叫亏数（所有素数、以及绝大多数数），大于自身叫盈数（如 12 = 1+2+3+4+6）。亏盈还催生了「相亲数」：220 与 284 互为对方真因子之和。
完全数的已知结构全部写在欧几里得–欧拉定理里：偶完全数必形如 2^(p−1)·(2^p − 1)，其中 2^p − 1 是梅森素数（p 本身必须为素数）。前几个对应 p = 2,3,5,7,13，给出 6、28、496、8128、33550336。这个定理把「找完全数」完全转化成「找梅森素数」——GIMPS 分布式计算项目找大梅森素数，本质就是在找新的偶完全数。
未解之谜恰恰在「奇」字上：是否存在奇完全数至今未知，目前只知道若存在，它必须大于 10^1500 且至少带 10 个以上不同素因子。这让完全数成为数论里「定义三秒讲完、三千年没解决」的标志性缺口——欧几里得证明偶的情形后，两千多年人类只推进了「偶的全部」这一半。
真因子和 σ(n) − n：σ(n) = Π (p_i^(a_i+1) − 1)/(p_i − 1)（标准分解）；完全数判定 σ(n) = 2n ⇔ 和等于 n
示例：n = 28：真因子 1、2、4、7、14，和 = 28 → 完全数；n = 12：真因子和 16 > 12 → 盈数（超出量 4 称盈度）；n = 16：真因子和 15 < 16 → 亏数。
如何使用在线完全数计算器
- 1
输入正整数（建议 ≤ 10^12，试除法在更大数值会明显变慢）。
- 2
点击计算：得到全部真因子列表、因子和与三类判定（完全/亏/盈），并给出盈度或亏度。
- 3
想验证完全数公式：输入 2^(p−1)×(2^p−1)（p 取 2、3、5、7、13……），工具应判为完全数。
计算示例
例 1验证第四个完全数
n = 8128 = 2⁶×127：真因子 1,2,4,8,16,32,64,127,254,508,1016,2032,4064，和 = 8128 ✓；对应 p = 7 的梅森素数 2⁷−1 = 127，与欧几里得–欧拉定理吻合。
例 2盈数与过剩打包
n = 945 是最小的奇盈数：真因子和 975，盈度 30；n = 945 的发现打破「盈数都是偶数」的直觉——素因子 3³×5×7 的组合让奇数也能攒出过剩的因子和。
注意事项
真因子不包含自身：判定完全数用的是 σ(n) − n，用 σ(n) = 2n 等价，但列表展示时务必剔除 n 本身。
1 是亏数（真因子和为 0），它既不是完全数也不是盈数；0 与负数不在讨论范围。
试除法找因子只需枚举到 √n（成对收集 i 与 n/i），工具据此提速；但 n 超过 10^12 后仍会变慢，大数请改用因式分解工具。
「完全数都是偶数」只是目前已知的事实（奇完全数未找到也未排除），表述时要留有余地。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-08-31
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Calcton 数学编辑组：标准教科书（高中至大学低年级）与常用数学手册的公式口径。
引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 在线完全数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/perfect-number, 2026-08-31.
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参考来源与更新说明
本页公式与判定标准参考以下权威资料：
最后更新：2026-08-31。
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