单摆周期

单摆周期 T = 2π√(L/g)，只由摆长 L 与重力加速度 g 决定。摆锤重一倍、摆幅大一点（小角度内），周期都不变——这叫「等时性」，伽利略 1581 年观察比萨大教堂吊灯时发现，后来成为摆钟计时的物理基础。

这个公式还是「口袋里的重力计」：1 米摆长的周期约 2.006 秒；反过来，精确测量周期与摆长即可反算当地重力加速度 g = 4π²L/T²，精度足以探测地下矿藏引起的重力异常。

单摆是物理学「理想模型」的教科书案例：一根不可伸长、无质量的细线，吊一个质点，小角度摆动。三个理想化剥离了真实世界的杂乱，留下的核心结构是「回复力正比于位移」——这正是简谐运动的定义。在小角度近似（sin θ ≈ θ）下，重力沿弧线的分量恰好满足这个结构，于是周期 T = 2π√(L/g)，与摆球质量无关、与摆幅（小角度内）无关。1583 年伽利略观察比萨大教堂吊灯的摆动（用脉搏计时）发现的「等时性」，就是这个公式的定性表述。

周期公式里的 L 与 g 各司其职：摆长决定「路有多长」，重力决定「拉回来多快」。这给出两个直接应用：一是测重力加速度——精确测出摆长与周期即可反解 g = 4π²L/T²，18~19 世纪的重力测量全靠摆；二是做时间基准——惠更斯 1656 年造出第一台摆钟，把人类计时精度从每天误差 15 分钟提到 15 秒，「秒摆」（T = 2 秒的摆，长约 0.994 m）的摆长一度被提名为「米」的定义候选。

「与质量无关」值得展开：重球与轻球在同样摆长下周期相同，因为重力按质量提供动力（F = mg），而惯性也按质量抵抗加速（a = F/m），两者恰好抵消——这与自由落体「所有物体同加速度」同源，都是引力质量等于惯性质量的体现。但「与摆幅无关」只是近似：大摆角下 sin θ 的非线性让周期变长，摆角 20° 时实际周期比小角公式长约 0.76%，60° 时长 7.3%——精密摆钟的摆角都被控制在 2° 以内，正是为了守住等时性。

真实世界的摆从不理想：空气阻力与轴承摩擦让振幅指数衰减（阻尼摆），所以落地钟需要发条持续补能；温度改变摆长（钢每 °C 约 12 ppm），夏天摆变长、钟走慢——哈里森发明「格架摆」（不同膨胀系数的金属杆组合互偿）才让航海钟成为经度战争的胜负手；g 随纬度变化（赤道 9.780、两极 9.832），同一座摆钟从伦敦运到赤道每天要慢约 2 分钟。

傅科摆把单摆推向了物理学史的高光时刻：1851 年巴黎先贤祠，67 m 长摆、28 kg 摆球，摆动平面以每恒星日 360°×sin(纬度) 的速率旋转——巴黎 48.85°N 对应约 31.8 小时转一圈。摆动平面相对惯性空间不动，是地球在它脚下转动，这是首个不用天文观测、在地面上直接证明地球自转的实验。今天的科技馆傅科摆旁常标一根「撞倒小桩」的轨迹，原理完全相同。