极分解计算器
输入 2×2 矩阵，计算器输出极分解 A = QP：Q 为最接近 A 的正交矩阵，P = √(AᵀA) 为对称正半定矩阵，并给出奇异值。
输入 2×2 矩阵 A = [[a, b], [c, d]]：
什么是极分解计算器？
极分解把矩阵拆成"旋转 + 拉伸"：A = QP，P 描述沿坐标轴的拉伸量（奇异值），Q 描述随后的纯旋转/反射。
P = √(AᵀA) 是对称正半定矩阵；Q = A·P⁻¹（可逆时）是正交矩阵，满足 QᵀQ=I。
它是矩阵版的极坐标：复数 z=re^{iθ} 中的模长与辐角，对应这里的拉伸 P 与旋转 Q。
P = √(AᵀA)，Q = AP⁻¹，验证 A = QP；奇异值 σ₁, σ₂ 为 AᵀA 的特征值平方根。
可逆矩阵唯一分解；奇异矩阵（det=0）时 Q 不唯一，计算器给出最小范数解并提示。
如何使用极分解计算器
- 1
填写 2×2 矩阵 a, b, c, d。
- 2
查看行列式与可逆性判定。
- 3
读取 P、Q 矩阵、奇异值与"拉伸—旋转"解读，并可验证 QP 还原 A。
计算示例
例 1例 1：纯旋转矩阵
A=[[0,−1],[1,0]]（旋转 90°）。AᵀA=I，P=I，Q=A：没有拉伸，全部是旋转——极分解还原了它的几何本质。
例 2例 2：拉伸加旋转
A=[[2,0],[0,1]]：P=A 自身（沿 x 拉伸 2 倍），Q=I（无旋转）；奇异值 2 和 1 正是两个方向的伸缩比例。
注意事项
P 一定唯一且对称正半定；Q 只有在 A 可逆时才唯一——奇异矩阵的 Q 有无穷多选择。
极分解与 SVD 密切相关：若 A=UΣVᵀ，则 Q=UVᵀ、P=VΣVᵀ，两者可互相推出。
det(Q)=±1：+1 是纯旋转，−1 包含反射；det(A)=det(Q)·det(P) 的符号由 Q 的反射性决定。
图像处理中的"刚体配准"、连续介质力学的变形梯度分解，用的都是极分解。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-02
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Calcton. 极分解计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/polar-decomposition, 2026-09-02.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-02。
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