勾股数生成器

勾股数（毕达哥拉斯三元组）是满足 a²+b²=c² 的正整数三元组。欧几里得公式给出完整构造：任取 m>n≥1，令 a=m²−n²、b=2mn、c=m²+n²，必有 a²+b²=c²。

当 m、n 互质且一奇一偶时，生成的是本原三元组（三数最大公约数为 1），如 (3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)。任意勾股数都是某个本原三元组的整数倍，如 (6,8,10)=2×(3,4,5)。

勾股数（毕达哥拉斯三元组）是满足 a² + b² = c² 的正整数组合，最著名的是 (3, 4, 5)。它们对应边长全为整数的直角三角形——在没有计算器的时代，工匠用 3-4-5 绳结法画直角，金字塔建造者和古代中国木匠都用这一招。

生成公式（欧几里得公式）可以造出所有本原勾股数：取互素且一奇一偶的正整数 m > n，则 a = m² − n²，b = 2mn，c = m² + n² 必为勾股数，且所有本原勾股数（三数互素）都能这样得到。任意勾股数 = 本原勾股数 × 公倍数 k。

勾股数有丰富的数论结构：c 永远是奇数（本原情形）；a、b 必一奇一偶；三数之积必被 60 整除；c 的素因子中模 4 余 1 的素数起决定作用——费马圣诞定理说奇素数能表为两平方和当且仅当它模 4 余 1，这决定了哪些数能当斜边。

常见的本原勾股数值得记住：(3,4,5)、(5,12,13)、(8,15,17)、(7,24,25)、(20,21,29)、(9,40,41)、(11,60,61)、(12,35,37)。考试中识别它们的倍数（如 6-8-10、9-12-15、10-24-26）能省下大量计算时间。

古巴比伦泥板 Plimpton 322（约公元前 1800 年）列出了 15 组巨型勾股数（最大 12709-13500-18541），比毕达哥拉斯早一千年，说明两河流域文明已掌握系统的生成方法。勾股数可能是人类最早被研究的非平凡数论对象。