矩形

矩形（长方形）四角 90°、对边相等，周长 2(a+b)、面积 ab、对角线 √(a²+b²)。对角线公式其实是勾股定理的直接应用——电视、显示器的「英寸数」标注的就是这条对角线，而非长或宽。

长宽比决定矩形的「性格」：1:1 端正、16:9 是视频标准（源自电影 1.85:1 与电视 4:3 的几何折中）、黄金比例 1.618:1 自古被视为最美的矩形——帕特农神庙、信用卡、名片都接近这个比例。

矩形的三个基本量——周长 2(a+b)、面积 ab、对角线 √(a²+b²)——分别对应三类日常需求：周长是踢脚线、栅栏、相框边的长度；面积是地板、墙漆、布料的用量；对角线是电视标称、搬运通道、放样校验的基准。对角线公式就是勾股定理，5-12-13、3.6-4.8-6 这类整数矩形是施工队放线的最爱。

验房量方正度是对角线最经典的应用：矩形的两条对角线必然相等，平行四边形则一长一短。毛坯房两条对角线差超过 1cm，意味着墙角不方——贴砖错缝、定制柜装不上都源于此。这条判据的理论依据是「对角线相等且互相平分 ⟺ 矩形」。

长宽比赋予矩形性格：1:1 端正、4:3 传统、3:2 摄影原生、16:9 视频标准、1:√2 纸张、φ 黄金比。16:9 的来历最有趣——1980 年代 Kerns Powers 把当时主流画幅（4:3 到 2.35:1）取几何平均得 1.77，在一张屏上让新旧片源的黑边都最小，1993 年成为高清电视国际标准。

A 系列纸张的 1:√2 是对折自相似的唯一解：设长宽比 x，对折后比例变 2:x，要求自相似即 2:x = x:1，解得 x = √2。A0 定为 1 m²，逐次对半裁出 A1 至 A10，排版缩放无缝衔接。这套 1786 年 Lichtenberg 提出、1922 年德国标准化的方案，如今统治除北美外的全世界。

最值性质：周长固定时正方形面积最大，面积固定时正方形周长最小——矩形家族的「极值点」都在正方形处取得。围地、裁板、包装设计凡是「最省料」问题，先算正方形解再按实际约束偏离。与 正方形计算器、三角形计算器 组合，可拆解绝大多数平面图形的面积。