正方形

正方形集矩形与菱形性质于一身：四边相等、四角 90°、对角线相等且互相垂直平分。所有度量都由边长 a 派生：周长 4a、面积 a²、对角线 a√2 ≈ 1.414a——√2 这个无理数最早就是古希腊人在正方形对角线上发现的，据说希帕索斯因此付出了生命。

正方形还是「最省料」的四边形：周长固定时，正方形面积最大（等周不等式的四边形特例）。篱笆围院子、瓷砖铺地、宣纸裁斗方，正方形解无处不在。

正方形的一切度量由边长 a 单参数派生：周长 4a、面积 a²、对角线 a√2、内切圆半径 a÷2、外接圆半径 a√2÷2。外接圆与内切圆的半径比恰为 √2、面积比恰为 2——「方进圆出」的机械间隙、方孔旋圆件、方板旋转通道，全部按这两个数设计。

对角线 = a√2 是放样校验的基准：方厅、方坑、方台放线后，量两条对角线比对是检验方正度的唯一硬指标——目视的直角在毫米级误差下完全靠不住，对角线差 5mm 以内才算合格。大尺寸工程要用 √2 = 1.41421356 全精度，50m 广场用 1.414 会差出 1cm。

等周不等式的四边形特例：周长固定时正方形面积最大（设周长 4L，长 x 宽 2L−x，面积抛物线顶点恰在 x = L）。反向同样成立：面积固定时正方形周长最小。篱笆围院、铁丝弯框、纸箱裁板，「最省料」的直觉答案都是正方形。

正方形的拼合性质独一无二：两个并排成 1:2 矩形，四个田字格仍是正方形——自相似拼合让瓷砖、马赛克、像素、围棋盘都以它为基本单元。对折则不行：正方形对折变 1:2 矩形，只有 1:√2 的 A 系列纸张能对折自相似（见 矩形计算器）。

判定一个四边形是正方形有两条充要路径：「菱形+一个直角」或「矩形+邻边相等」。现场量法更直接：四边等长且两条对角线等长——对角线等长的菱形必为正方形。这条判据也是瓦工、木工验收方正度的标准动作。