比例因子计算器

比例因子 k 描述相似变换的缩放程度。核心规律：一维量（边长、周长）乘以 k，二维量（面积）乘以 k²，三维量（体积）乘以 k³。维度每升一级，指数加一。

这条"幂律"在工程中无处不在：飞机模型风洞试验的强度换算、建筑模型用料估算、地图面积换算都依赖它。生物学中的"平方-立方定律"（体重增长快于骨骼强度）也是同一原理。

比例因子描述图形缩放时各量如何变化：长度（一维）乘以 k，面积（二维）乘以 k²，体积（三维）乘以 k³。指数正好等于量的维度，这不是巧合，而是度量本身的几何定义——面积是两个长度的乘积，体积是三个长度的乘积。

这条规律的物理版本就是著名的平方-立方定律，由伽利略在 1638 年《两门新科学》中系统阐述：物体放大 k 倍，重量（∝体积）增加 k³ 倍，而骨骼承重截面（∝面积）只增加 k² 倍。于是单位截面承受的压强增加 k 倍——这就是大象的腿必须按比例比蚂蚁粗得多、巨型生物必须生活在水里的原因。

工程与日常中的比例问题几乎都落在这条规律上：模型飞机 1:72 意味着表面积是真实飞机的 1/5184、体积是 1/373248；地图 1:50000 意味着 1cm² 代表实地 0.25km²；3D 打印把模型缩放到 150% 意味着用料变为 3.375 倍、打印时间也大致按比例增加。

生物学中的异速生长进一步推广了这一思想：代谢率约按体重的 3/4 次方变化（Kleiber 定律），心率约按 -1/4 次方变化，这些都是几何缩放与生理约束共同作用的结果。虽然超出本工具的范围，但平方-立方关系是理解一切 scaling 问题的起点。

反过来用也很常见：已知面积比求长度比要开平方，已知体积比求长度比要开立方。例如两个球形储罐容积比 8:1，则直径比 = ∛8 = 2:1，表面积（决定钢板用量）比 = 2² = 4:1。