Schur 不等式验证计算器
Schur 不等式是对称多项式世界的基石：对非负 a、b、c 与正整数 r，Σa^r(a−b)(a−c) 恒非负。输入三个数与次数 r 即可验证。
什么是Schur 不等式计算器？
Schur 不等式（1904）：对非负实数 a、b、c 与 r ≥ 0，Σa^r(a−b)(a−c) ≥ 0。
r = 1 时展开为 a(a−b)(a−c) + ⋯ ≥ 0，等价于 a³+b³+c³+3abc ≥ Σ_sym a²b。
r = 0 时退化为平凡情形，r 越大"大数优势"越明显。
证明思路：不妨设 a ≥ b ≥ c，按 (a−b)、(b−c) 展开后各项非负。
它是三次对称多项式判别的标准工具。
a^r(a−b)(a−c) + b^r(b−c)(b−a) + c^r(c−a)(c−b) ≥ 0
a、b、c ≥ 0，r 为非负整数。
如何使用Schur 不等式计算器
- 1
输入非负实数 a、b、c。
- 2
输入次数 r（0 到 6 的整数）。
- 3
工具计算对称和的值并验证非负性。
- 4
结果还展示经典 r=1 形式与等号条件核对。
计算示例
例 1r = 1 基本情形
a=5, b=3, c=1：5·4·2 + 3·(−2)·2 + 1·(−4)·(−2) = 40−12+8 = 36 ≥ 0。
例 2等号情形
a = b = c：每项 (a−b) 或 (a−c) 为零，和为 0；或 a>0、b=c=0 类顶点情形。
注意事项
要求 r 为非负整数（本工具），实数 r ≥ 0 的推广需幂函数定义域注意。
左侧是关于 a、b、c 的对称多项式，与输入顺序无关。
等号条件：a = b = c，或某变量为 0 且另两个相等。
常与 AM-GM 联合使用证明三次齐次不等式。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-11
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Calcton. Schur 不等式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/schur-inequality, 2026-09-11.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-11。
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