Nesbitt 不等式验证计算器
Nesbitt 不等式是三元分式的经典下界：三个正数各除以另两个之和，总和不会小于 3/2。输入 a、b、c 即可验证并查看等号条件。
什么是Nesbitt 不等式计算器？
Nesbitt 不等式指出：对任意正数 a、b、c，a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b) ≥ 3/2。
最优雅的证明用 Titu 引理（柯西的 Engel 形式）：Σa²/(ab+ac) ≥ (a+b+c)²/2(ab+bc+ca)。
再由 (a+b+c)² ≥ 3(ab+bc+ca) 即得下界 3/2。
等号在 a = b = c 时取得，此时每项都是 1/2。
它是竞赛数学中最常用的分式不等式之一。
a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b) ≥ 3/2
a、b、c > 0，等号当且仅当 a = b = c。
如何使用Nesbitt 不等式计算器
- 1
输入三个正数 a、b、c。
- 2
工具计算 S = a/(b+c) + b/(a+c) + c/(a+b)。
- 3
结果给出 S 值、与 3/2 的差值、等号条件是否满足。
- 4
输入 1, 1, 1 可验证恰取等号。
计算示例
例 1等号情形
a = b = c = 1：S = 1/2 + 1/2 + 1/2 = 3/2，恰取下界。
例 2悬殊情形
a = 10, b = c = 1：S = 10/2 + 1/11 + 1/11 ≈ 5.18，远大于 1.5。
注意事项
要求三个数全为正；含零或负数时分母可能为零或结论失效。
S 无上界：a 很大时第一项爆炸。
n 元推广：Σaᵢ/(S−aᵢ) ≥ n/(n−1)，其中 S = Σaᵢ。
通分后等价于 2Σ(a−b)²(ab+ac+bc) 型平方和，恒非负。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-11
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Calcton. Nesbitt 不等式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/nesbitt, 2026-09-11.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-11。
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