几何平均数
第一年涨 50%、第二年跌 50%，平均收益不是 0%——增长率求平均必须用几何平均。
什么是几何平均数？
几何平均（Geometric Mean）= n 个数乘积的 n 次方根。它度量"连乘效应"的平均：各年增长率是相乘关系（今年 = 去年 × (1+r)），平均增长率必须用几何平均。2 和 8 的几何平均是 √(2×8) = 4（算术平均是 5）——几何平均永远 ≤ 算术平均，数据越分散差距越大。
投资的年化收益率就是几何平均：两年收益 +50%、−50%，几何平均 = √(1.5 × 0.5) − 1 = √0.75 − 1 = −13.4%——两年实际亏 25%，算术平均给出的 0% 完全是幻觉。这就是为什么基金宣传爱用"算术平均收益"而监管要求披露"年化（几何）收益"。
几何平均的另一个身份是"比率数据"的天然平均：计算平均屏占比、平均浓度稀释比、平均汇率变动都该用它。它与算术平均、调和平均构成经典三联：调和 ≤ 几何 ≤ 算术，分别适用于速率、比率、总量三类数据。
几何平均是「乘法世界的平均」：算术平均保持总和不变（Σx=nx̄），几何平均保持乘积不变（Πx=Gⁿ）。凡是过程以「连乘」展开的场景——复利增长、比率连乘、比例放大——几何平均才是那个「如果每年匀速增长应该是多少」的正确答案。100 万三年变 150 万，几何平均告诉你相当于每年稳定增长 14.47%，三年恰好 1.1447³≈1.5 倍。
几何平均与对数是孪生兄弟：对一组数取对数求算术平均，再取反对数，得到的就是几何平均。这个变换把乘法问题变成加法问题，是处理跨数量级数据的标准技巧——地震震级、pH、声压级都是对数尺度，它们的「平均水平」本质都是几何平均。偏态数据（收入、城市人口）取对数后近似正态，此时对数均值对应的几何平均往往比算术平均更有代表性。
G = (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n)；平均增长率 = G(1+rᵢ) − 1
几何平均 = (x₁·x₂·…·xₙ)^(1/n)。两个数：√(ab)。例：三年收益 +50%、−20%、+10%，复合因子 1.5×0.8×1.1=1.32，年均增速=1.32^(1/3)−1≈9.7%/年——而算术平均给出的 13.3% 高估了真实增长。所有数相等时几何=算术，否则几何恒小于算术（均值不等式）。
| 数据类型 | 正确平均 | 原因 | 错误用法示例 |
|---|---|---|---|
| 投资年化收益 | 几何 | 复利连乘效应 | 用算术平均宣传业绩 |
| 人口/细菌增长率 | 几何 | 逐期按比例增长 | 平均增速直接相加 |
| 考试成绩（独立科目） | 算术 | 各科目绝对分可加 | 用几何平均压低偏科 |
| 身高体重（横截面） | 算术 | 同一时点独立测量 | —— |
| 价格比率（指数编制） | 几何 | 比率连乘 | CPI 篮子用算术会高估 |
| 浓度/强度（物理量） | 视场景 | pH 取对数后算术=原始几何 | pH 直接算术平均 |
如何使用几何平均数
- 1
输入数据集（空格分隔，均为正数）。
- 2
点击计算，得几何平均数与算术平均数对比。
计算示例
例 12 和 8
几何平均 = √(2×8) = 4；算术平均 = 5。数据差距越大，几何平均落后算术平均越多——这是"波动侵蚀复利"的数学表达。
例 2+50% 与 −50% 的平均收益
增长因子 1.5 与 0.5：几何平均 = √0.75 ≈ 0.866，即年均 −13.4%。10 万两年变 7.5 万，真实年化亏损 13.4%——算术平均的 0% 只是数字游戏。
例 3基金三年真实年化
某基金三年收益：+40%、−25%、+20%。算术平均 11.7% 是幻觉；真实年化 = (1.4×0.75×1.2)^(1/3)−1 = 1.26^(1/3)−1 ≈ 8.0%。验证：1.08³≈1.26 ✓。波动越大，算术平均与几何平均的裂口越宽——这就是「波动税」（volatility drag）。
例 4两个城市的通胀连乘
某商品第一年涨价 12%、第二年涨价 8%，两年总涨幅不是 20% 而是 1.12×1.08−1=20.96%。年均通胀 = √1.2096−1 ≈ 9.98%/年——注意它略小于算术平均 10%，差异随年度波动增大而扩大。
例 5矩形归一化（图像处理）
设计两张海报，尺寸比例分别为 1.5（偏宽）和 0.8（偏高），想找一个「中庸」的宽高比。算术平均 1.15 偏向宽；几何平均 √(1.5×0.8)=√1.2≈1.095——它在乘法意义上居中：1.5/1.095≈1.37，1.095/0.8≈1.37，两个方向的比例偏离完全相同。
注意事项
所有数据必须为正数（增长率为负时用增长因子 1+r 计算再减 1）。
含 0 的数据集几何平均为 0，通常失去意义，应换用其他口径。
多期复利平均 = (期末值 ÷ 期初值)^(1/n) − 1，与逐年几何平均等价（即 CAGR）。
波动越大的序列，几何平均比算术平均低得越多（差值约为 σ²/2），这就是"波动税"。
几何平均要求所有数为正——出现零则乘积为零、几何平均归零（一票否决），出现负数则偶次根无实数解。含零数据（如某年零增长）需改用 (1+r) 因子形式计算后再减 1。
金融合规：美国 CFA 协会 GIPS 标准与证监会基金披露都要求用几何年化，宣传材料里的算术平均收益属误导性陈述。
对数正态分布（收入、城市规模）的中位数恰好等于几何平均——这是「几何平均代表典型值」的理论依据。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-04-29
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-04-29。
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